ある事象と時間系列上でその次に来る事象とを取りまとめ，それらが二つの事象であることを承認しつつ，同時に一つの事象として認識することが自然数2の構成である。

　この記述を読んで私が思い出したのは、ブラウワーがいうところの数学の無言語性で出てきた二−一性（the two-ity,the two-oneness）のことでした。あのときには、「はいぃ?」という感じだったけれど、なんだかいまは、ブラウワーが言わんとしていることが、あのときよりはわかるような気がします。

　で、自然数2を構成したあとは、「ストロークを継ぎ足すことによって自然数を構成する有限主義の場合と形式上は同様な自然数の系列が得られる」ということで、これは上記の＋1を好きなだけ繰り返す、ということを言っているのだろうと理解しています。

　そして、自然数にしろ整数にしろ有理数にしろ、個々に考える限りは完結した対象なのだけれど、自然数全体からなる集合や有理数全体の集合のようなものは、直観主義の場合は完結した対象とは見なされません。なので、有理数の無限集合や無限系列を前提とする実数を構成するにあたっては、古典的な方法や概念をそのまま利用することはできない、ということになります。

そこで個々の実数を構成するために直観主義者が採った道は，実数を完結した対象としてではなく，絶えず生成途上にある未完の対象として扱うことであった。

　このあと、実数の構成法の例として区間縮小法とコーシー列が示されています。私はウィキペディアのコーシー列の説明のなかに、「自己漸近」という言葉があるのを見て、ちょっと苦笑してしまいました。そうか、自己規定から自己批判にうつるまえに（＊）自己漸近も面白かったかもしれないな。でも、ここでいう自己ってなんだろう?　自分に近づいていくということかな、自分で近づいていくということかな・・・

　なお、コーシー列のおおよそのイメージをつかむには、「物理のかぎしっぽ」さんの「コーシー列と完備の概念」がわかりやすいです。
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/
68b2c1796f6b209765ddd66925a2f9d1.html

　ちなみに、「実数を完結した対象としてではなく、絶えず生成途上にある未完の対象として扱うこと」というフレーズからは、野矢茂樹『無限論の教室』を思い出しました。あの本に、0.999・・・と1の違いについて、何か面白い言葉で説明してあったような記憶がうっすらとあるのですが、思い出せず・・・です。

　いまさらの話だけど、思えば「収束」も、自分の人生においてけっこうなキーワードになっているのかもしれません。でも、だんだん近づいていく、どんどん近づいていくということよりも、まっぽすそれではない、そこに行き着けない、というところがミソであり、「収束」という言葉はその気になりどころにあまりフィットしないのかもしれません。

　で、金子さんの論文のその先を読み進みますと、

　さて，以上では自然数から実数までの構成をごく簡単に概観したのであるが，このように形成された直観主義数学の内に連続休の占める余地がないのは明がである。

　また、彼は、科学的思考を、昆虫標本のように真理をピンでさして固定するようなものとしてみなすのではなく、反対に「本質にしたがって自己展開する思考」であるとかんがえていた。

「カヴァイエスは、（直観主義が主張する）原直観の作用による数学的基礎づけに賛成することもなければ、ブラウアーによって数学に課された制限に賛成することもない。そうであったとしても、直観主義の2つの主題が、本質的には活動性と実効性の要求から成り立っている（カヴァイエスの）学知の構想のなかで、彼の学知の理論の中心に見出される。彼の学知の理論と深く共鳴しているブラウアーの認識論の詳細な検討を、カヴァイエスが先延ばしにしてしまったことは残念なことである」

　　（p．54）

　そんなスブスティクも、上記の「活動性」と「実効性」について、その内容的な検討をじっさいにおこなったわけではないそうなのです。なので、それを近藤さんがやろうとしておられるのだと、私は理解しました。

（つづく）

形式的論理学(formale Logik)とは、ドイツ観念論哲学の祖と言われるイマヌエル・カントがアリストテレス流の論理学に与えた名称。自己の唱えた超越論的論理学(transzendentale Logik)と対比したもの。 

　エドムント・フッサールなどによって、従来の論理学をカントが「全く誤解して」名付けたものであり、対比されている超越論的論理学は形而上学と認識論の奇妙な混合物というべきものであると批判された（フッサール「形式的論理学と超越論的論理学」）。

言いかえれば、カントの学問論は、論理学と数学のあいだの厳密で維持可能な関係を確立できていないという欠点を抱えているとカヴァイエスはかんがえているのである。

「証明という用語のうえに基礎づけられた学問的理想の要求は、その証明という用語が三段論法と数学的構成とのあいだで未決定なままであるために、学問の展開が演繹されることになる学問の純粋で必然的な部分を、経験の原理を添加することで創造することに帰着してしまっている」

カヴァイエスは、このような三段論法に固有の論理学の「分析」的特徴と、空間と時間の「直観形式」のうえに基礎づけられた数学の「綜合」的特徴のあいだに、埋めがたい断絶がさしはさまれているとかんがえている。言いかえれば、「証明」という概念の理解が、論理学と数学のあいだで宙吊りになってしまっているのである。

論理学はこれらの能力を指導することを欲するにもかかわらず、これらの能力が設定されたあとにしか定義されえない。[論理学の]抽象的な定義は、おそらくこれら悟性と理性という能力によってあたえられることになる。

　　（p．47）

　私がこの部分を読んで思い出したのは、池田清彦『構造主義生物学』に書いてあった、人間の知能の発達に対する機能主義者（経験主義者）と構造主義者の主張の違い（＊）のことでした。つまり、A：「人は学習によって能力が高まるのである」と、B：「人はある年齢になると能力が高まるので学習ができるようになるのである」という2つの考え方です。Aの代表は行動主義心理学創始者のジョン・ワトソン、Bの代表がピアジェということになっていました。で、そのあとに構造主義生物学の立場からのピアジェ批判というエントリも書いています。

　あのときは、「うーん、よくわからん・・・」で終わりましたが、いまだったら、あのときよりは少しわかるかも。何かわかるかというと、構造主義生物学の限界が。「構造」を「構成あるいは生成」と対立させて考えているうちは、先に進めないのかもしれません。また、遠山啓が言っていた、近代数学と現代数学の対立にもつながる話だろうと思います。

　さらにカヴァイエスは続けます。

諸規則の源泉である悟性は、「判断の権能」であり、あらゆる判断は、われわれの表彰を統一する機能である。その一方で、機能とは「さまざな表象を1つの共通の表象のもとに秩序づける働きの統一」として解されることになる

　　（p．47）

　「表象」というものを、「操作」の実効的な「遂行」として理解するのであれば、「判断」とは、そのようにして浮かびあがる固有の「構造」をうえから俯瞰的に把握し、統一するものとして働くということになります。

　その点については納得なのですが、ひっかかったのは次の部分です。

ここでは、カントの「規則」にかんする議論が、意識における「諸能力」の議論になっていることがみてとられる。

　　（p．47）

　「意識」とはなんだろうか?

　とりあえず文面から判断するに、「悟性」「理性」が属するところの何かであるようです。ウィキペディアの「悟性」のページでいうところの「認識能力」のことでしょうか。しかし、それだと「能力」が重なってしまうので、意識＝認識ということだろうか。あるいは、「自己」のようなものだろうか。ここにくるまでに、何か読み落としたかな?

　肝心なことは、意識は絶対的なものである、ということだと思うのです。だからこそ、カヴァイエスはこの点を集中的に批判したのだろうと思うことであり。

「規則の必然性-----いわば規則の無条件的で規範的な徴表-----は意識という絶対的なものに従属させられたままであり、意識の現前とその本質構造-----すなわち意識それ自体-----は還元不可能なものであって、いかなる合理的な内容によっても定義されないのである」

カントにとって、「悟性」と「理性」が生みだす「規則」とは、自然のなかにある「規則」と同じ「規則」である。それらは同じ「必然性」[nécessité]にしたがっているがゆえに、1つの普遍的な「規則」あるいは「法則」であり、そして「悟性」と「理性」はそれを感受するがゆえに、自然の「規則」（すなわち「自然法則」）をそれらによって理解することができるのである。

カヴァイエスによるカント解釈における本質的な論点は、数学的な「操作」の「遂行」を可能にし、「遂行」とともに「構成」され、その結果として顕わになる「形式」あるいは固有の「構造」が、無尽蔵な内容の予見不可能性を潜在的に含んでいるかどうか、というところにある。