TETRA'S MATH

数学と数学教育

割合の三用法と「倍」のかけ算との関係

 念のため学習指導要領で確認しておこうと思って「割合」で検索をかけてびっくり、指導要領では「単位量あたりの大きさ」にしか「割合」という言葉を使っていないのですね。同種の量の比較としての「割合」の学習に該当するのは、第5学年の次のところくらいです。

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〔第5学年〕 「D.数量関係」より
 (3) 百分率について理解できるようにする。
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 なお、「歩合」については「3. 内容の取り扱い」でちょっと出てきます。5年生ってけっこう「割合」で苦労すると思うのですが、学習指導要領における文面としてのウェイトは意外と低いのですねぇ。

 さて、「割合」について考えていくために、便宜上、次のように番号をつけて割合の式をよぶことにします。

 (第一用法) くらべる量÷もとにする量=割合
 (第二用法) もとにする量×割合=くらべる量
 (第三用法) くらべる量÷割合=もとにする量 
 
 たとえば、10回シュートして8回入ったら、

 (第一用法) 8回成功 ÷ 10回シュート = 成功率0.8
 (第二用法) 10回シュート × 成功率0.8 = 8回成功
 (第三用法) 8回成功 ÷ 成功率0.8 = 10回シュート 

ということになります。

 第一用法はどの教科書にものっていると思いますし、第二用法もおそらくのっているでしょう。第三用法については、まったく触れていないことはないかもしれないけれど、第一、第二のように罫囲みで強調されてはいないかもしれません。

 手元にある東京書籍の教科書(平成22年検定済)では、「割合=比べられる量÷もとにする量」「比べられる量=もとにする量×割合」というふうに第一用法、第二用法を示し、第三用法については、

 もとにする量を求めるときは,□を使って,比べられる量を求めるかけ算の式に表して考えると,求めやすくなります。

と罫囲みで説明しています。「割合」そのものの説明としては、「比べられる量が,もとにする量のどれだけにあたるかを表した数を割合といいます。」となっています(割合に「わりあい」のルビ付)。もちろん百分率の説明もあります。

 話が脇にそれますが、「くらべる量」がいいのか「くらべられる量」がいいのか迷うところです。いったいだれが“くらべる”んだよ?、だれが“もとにする”んだよ?、だれがなにに“くらべられる”んだよって感じ。こういう言葉の式は本当にわかりにくいですが、小学校の算数の教科書では仕方がないことでしょうね。大人になって新しい概念を学ぶときも、定義よんでもさっぱりわからないってことよくあるし。定義って実は、「そこから始めるもの」ではないのかもしれない。とにかく、アレコレ具体的に考えてきてわかってきたときに、一般性をもたせるための「まとめ」の式と考えればいいのでしょう。実際、東京書籍の罫囲みの説明には、「まとめ」の文字が右肩についています。

 話をもとにもどすと、「割合」は基本的にわり算が先なのだと思います。そもそも「くらべる量」や「もとにする量」は、それぞれ独立した外延量として存在&測定可能だけれども、それがだれかの都合によって、くらべられたり、もとにされたりするからこういう名前がつけられ、そして「割合」が生まれた・・・と考えることができると思うので。だから、「割合」を求める式が第一用法であっても不思議ではないかと思います。(そうなると、わり算をかけ算の逆算としてとらえていいのか?というところから考えなおす必要がありそうです)

 しかし、第一用法に負けず劣らず世の中で使われるのが第二用法。実生活の中ではむしろこっちのほうがよく使うかもしれません。何しろ、比べるのが目的ではない、他人が作った割合、他人が見出してくれた割合が世の中にはいっぱいあるわけであり。たとえば、消費税率が10%のとき2000円買ったら200円もっていかれる〜という場合、先にあるのは200円ではなく10%ですよね。また、先日うちで飼っている金魚が転覆病のような症状をみせ、塩浴に挑戦したのですが、このときにも割合の第二用法のお世話になりました(金魚、復活しました^^)。ちなみに、第二用法を使わせたい問題は、ともすれば「問題のための問題」になりがちだと思います。

 そして、「4こ×6倍=24こ」という「倍」としての計算は、この割合の第二用法の仲間としてみなせます(>既測量を「1」とおくことは困難か?/「倍」としてのかけ算)。ということは、「倍」としてのかけ算をもとにして、その逆算として考えるわり算はどういうことになるかというと、きのう包含除に近いとみなした「24こ÷4こ=6倍」は第一用法にあたりますし、等分除に近いとみなした「24こ÷6倍=4こ」は第三用法にあたります。この第三用法は、東京書籍がそうしていたように、そのまま公式のように扱うのではなく、第二用法の逆算として考えさせる場合が多く、その背景には、「小数や分数でわる等分除」の発想の転換の難しさがあるかもしれません。

 しかし割合の学習はそれでいいとしても、「○÷小数」や「○÷分数」の計算そのものは学習しなければならないわけで、「等分除」「包含除」の視点でその学習内容をみてみると、なかなか興味深いものがあります。

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かけ算と「等分除」「包含除」との関係

 小3でわり算が出てくるとき、「1つ分をもとめるわり算」と「いくつ分かをもとめるわり算」に分けて学習するようになっています(何倍かを求めるわり算は、あるところとないところがあるようですが、私が見落としているだけかもしれません)。

 そもそもかけ算を「1つ分の数×いくつ分=ぜんぶの数」で定義しているのだから、このかけ算をもとにわり算を考える場合、「1つ分の数」か「いくつ分」かを求めることになるのも自然な流れです。

 たとえば、1人に4こずつ6人の子どもにみかんを配ったとき、みかんの総数は「4こ×6人=24こ」という計算で求められるわけですが、24このみかんを6人に配れば1人分の数は「24こ÷6人=4こ」になるし、4こずつ配れば「24こ÷4こ=6人」に配れることになります。

 この区別を簡単な用語を使って考えていくために、「等分除」「包含除」という呼び名を採用することにします。「等分除」は“等分する”ので、人数でわって「1人分の数」を求める計算、「包含除」のほうは、いくつ含まれているかを求める計算なので、1人分の個数でわって「いくつ分(何人分)」かを求める計算、というふうに私は覚えています。この用語をいつだれが作ったのか、私の理解が正しいのかはわかりませんが、だいだいそんな雰囲気でこの用語を使用することにします。

 ほんでもって、「1あたり量」は基本的に平均値なので、等分除によって求められる値と考えることができます。しかし、「3こ、4こ、5こ、4こ、5こ、3こ」と配ったあとの平均としての「4こ」ではなく、“一様に”4こずつ配っているという意味での「4こ」です(平均値って言葉、やっぱりまぎらわしいかな?)。なので、「1あたり量」をあたえるかけ算は、2量の比例関係を前提としています。

 なので、(ちょっとわかりにくい文章ですが→)「16このみかんを4人で同じ数ずつわけました。このときの1人分の数と同じになるように6人の子どもにみかんを分けると、みかんは全部で何こいりますか」というような問題では、

   (16こ÷4人) × 6人 = 24こ 

という計算になりますし、はり金だともっとわかりやすくて、「3mで6.9gのはり金があります。このはり金の4m分の重さは何gですか」という問題では、

   (6.9g÷3m) × 4m = 9.2g

という計算になります。「“この”はり金」という言葉に、「同じ種類のはり金です→1mあたりの重さが同じです」という意味をこめています。なお、これを「6.9g × 4/3倍」で解こうとするのが、倍比例です。

 で。

 わり算を、かけ算をもとにして考える場合、かけ算を構成している2つの数に別々の役割があるならば、1つのかけ算から2種類のわり算ができると考えてもおかしくはないわけで、これまでみてきたように「1あたり量×いくつ分=全体の量」のかけ算からは、「1あたり量」を求める等分除と、「いくつ分」を求める包含除の2通りができます。では、「倍」のかけ算からはどんなわり算ができるんだろう?という疑問がわいてきます。

 「倍」のかけ算、およびそこから派生するわり算は、「割合の三用法」とからめて考えるほうがよさそうなのですが、それは後日別エントリで考えることにして、あえて、等分除、包含除のどちらに近いか、どちらかに近いと考え得るかということについてみていきます。

  4こ × 6倍 = 24こ

からつくれるわり算はといえば、

(1) 24こ ÷ 6倍 = 4こ

(2) 24こ ÷ 4こ = 6倍

の2種類になります。このうち(2)については、式をぱっと見た限りは、包含除に近そうです。実際、既測量を「1」とおくことは困難か?/「倍」としてのかけ算で示したaとbの関係をみると、aにはbが6こ含まれているので、(2)を包含除と考えてもよさそうな気がしてきます。

 一方、(1)のほうは、「1とみなす量」を求める計算と考えれば、どちらかというと等分除に近いと言えそうです。(2)の場合と同様にaとbの関係を考えると、aはbを6等分したものなので、等分除の発展形と考えてもわるいことはないかもしれない。せっかく「1」の違いを考えたのに、結局同じことか……と、ちょっとひっかかるものはありますが。

 もし、そんなふうに考えていいとすると、「1あたり量」は等分除によってできる“割合”、「倍」は包含除によってできる“割合”と考えることができて、面白いです。

 なお、いまは整数で考えているので(1)を“等分”除と考えてもよさそうに見えますが、わる数が小数、分数となると、話は変わってきます。「小数・分数でわる包含除」は比較的考えやすいですが、等分除の場合、整数のわり算の「分ける」という発想から、「1人あたり量」「1mあたり量」、あるいは「1とみなされる量」を求める計算という発想に移らなければならないので、発想の転換が必要となります。このあたりのことは、割合の三用法をみてから考えたいと思います。

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既測量を「1」とおくことは困難か?/「倍」としてのかけ算

 まず、かけ算を次の2種類に分けて考えるところから始めます(「かけ算とはこの2通りである」と断言しているのではなく、この2種類に分けて考えてみる、ということです)。



 青枠、赤枠で囲まれた部分は、どちらも「わり算」で作られる数値ですが、そのことについては後日考えます。青枠のある上の2つの式は「1あたり量×いくつ分」の定義によるかけ算で、赤枠のある下の2つの式は「倍」としてのかけ算です。このうちの「倍」としてのかけ算に注目します。

 以前、分数と互助法というエントリで、2つの連続量から分数や小数が生じる様子について示しましたが、これと同じ図を、分数や小数ではなく、「6倍」の図として表すと、次のようになります(aはbの6倍)。

    

 このように倍で考えるとき、bの長さはどんな長さであってもかまいません。もっといえば、長さがわかっていなくてもかまいません。知りたいのはaとbの関係なので。そのへんにある2本の棒をもってきて片方が片方のちょうど6個分ということはなかなかないかもしれませんが、とにもかくにも、aやbを定規ではかる必要はなく、お互いの関係だけで「6」という数値は生まれます。つまり、この「6」という数値は、関係としての数です。

 この関係としての数である「倍」を使って答えを求めるときに、そのもとになる量、つまりbにあたる量は、どんな数量であれ「(単位のつかない)1」とみなされます。4こでも「1」、2.3gでも「1」。へんな話ではあります。1つの数量に、2つの数値がついているのだから。

   
 
 「4こ」や「2.3g」のように、明確に量としてすでにわかっているもの、もう測られている量をあえて単位のともなわない「1」として捉え、関係としての「数」を使って答えを出すということは、子どもにとってわかりにくいと遠山啓は考えていたのではないかと思います(「1あたり量×いくつ分」という定義は、のちのち比例や微積分につながるという意味で積極的に導入したものであるのだろうけれど、一方で「倍」の難しさへの考慮もあったのではなかろうか)。

 ほんでもって、現在の教科書では、2年生のかけ算の導入時に上記のような図は示されていないのではないかと思います。お皿なり袋なり箱なりで「いくつ分」をきっちり分離させて表し、「1つ分の数×いくつ分=ぜんぶの数」で定義しているのではないかと。すべての教科書を確認してはいないので、あくまでも私の推測ですが。

 そして、娘が使っていた学校図書の教科書では、導入と練習問題が終わったあと、「倍ともいいます」という形で、テープを使った問題が示されています。

 2cmのピンクのテープが問題文中でも図として示されたうえで、「2cm(図)のテープがあります。このテープ1こ分,2こ分,3こ分は,何cmでしょうか。」という問題が出されています。そして、2cmのテープ1こ分の図、2こ分つなげた図、3こ分つなげた図が示された横に「2×1=2」「2×□=□」「2×□=□」という式があり、その下に、「1こ分,2こ分,3こ分のことを,1ばい,2ばい,3ばいともいいます。」という説明がついています。(『みんなと学ぶ 小学校 算数 2年下』学校図書/平成21年発行/p.10)

 これまではずっと、なんらかの個数でしたが、ここでテープの長さが出てきて、そのまま具体的に図示することで「テープ図」になっていくわけです(という印象を個人的にもちました)。

 この「倍」としてのかけ算は、小5で学ぶ割合の式「もとにする量×割合=くらべる量」(第2用法とよばれるもの)に結びつくと私は考えています。(それにしてもこの言葉の式、わかりにくいですよねぇ)

 つまり、

   2000円の3割は? → 2000×0.3=600(円)

   300gの5%は? → 300×0.05=15(g)

というような計算のこと。この計算は、2000円や300gを「単位のつかない1」とみなし、この1に対して「0.3」という関係にある量や、「0.05」という関係にある量を求めていることになります。

   
 

 

(つづく)
 

 

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ゆうべ娘と、小数、分数の混じったかけ算について考えて感じたこと

 まずは、きのうのエントリの補足をば。
学校教育では、「1あたり量×いくつ分」が採用されていることは、事実だと思います。単に採用されている、というだけのことです。その採用の不当性を訴えていけばいいのだと思います。
と書きましたが、このあとに
(そこに問題があると思うのなら)
を追加しました。 

 ゆうべもまた2人で小数のかけ算について考えました。といっても小数に飽きてきたので、最初は分数で考えました。なんだかんだで「15000×1/5」がお題となり、こんな問題ができました。↓

// パソコンの修理に1回来てもらうと、15000円かかる。ふつうは、ちゃんとしたプロが1人で来て全部の作業をやるのだが、まだ一人前ではない、半人前でもない5人組がやってきた。1人はファン交換、1人は最近調子がわるいタッチパッドの修理、1人はデスクトップをきれいにしてくれる(娘の希望)、……というふうに、それぞれ分担して5人で仕事をする。でも、はらう料金は15000円。さて、1人いくらもらえるでしょう?  //

 そして、再び小数のかけ算にチャレンジ。

// 1枚のハッピーターンには、1.5gのハッピーパウダーが使われています。0.3枚では何gのハッピーパウダーが使われているでしょうか? //

 0.3枚の前に、2枚では……3枚では……0.5枚では……ということを考えました(パウダーの重さは最初、整数だったかも)。そして、2枚だったら「1.5×2」、3枚だったら「1.5×3」とできるように、0.3枚だったら「1.5×0.3」ってしてもいいんじゃないかな、そうできるように考えられないかな……ということで話をもっていったように記憶しています。

 しかし、この作業をやったあと、「じゃあ、0.2×0.3となる式を作ってみて。ハッピーターンでいいから」と娘に言うと、「えっと、1枚を2つにわけたのがあって……んん??……」となります。つまり、0.2→1/2と考えているうえ、「1あたり量」にあたる量を自分で設定することができません。

 そこで、ハッピーターン1枚には0.2gのさとうが使われていることにして、0.3枚分では0.2×0.3=0.06(g)使われている、この計算は、もう○○ちゃんは答えを出している計算と同じだよね、というあたりでゆうべのかけ算談義は終わりったのでした。

 そして感じたことは2つ。

 まず、遠山啓が、かけ算の定義を「“1あたり”から“いくつ分”を求める計算」と示したうえで、
この定義のなかには、“たし算”は一つもはいっていないことに注意してほしい。
と書いていたこと。(遠山啓著作集 数学教育論シリーズ5『量とはなにか−機拿蠎「6×4,4×6論争にひそむ意味」p.118)

 このかけ算の定義の効力は、いくつ分が「1」、「0」、「小数」、「分数」になったときに発揮されるわけですが、つまりは一般化しやすい発展性のある定義を、最初から採用しようとしたのだろうと私は理解しています。で、あらためて考えると、「1あたり量×いくつ分」という書き方をするのも、ちょっとへんな話なのかもしれません。そうではなくて、「○×△」は、「1あたり量○から△分を求める計算」と、いっそ全部言葉で言ったほうがいいのかもしれない。そう考えると記号「×」の見え方がだいぶ変わってきます。

 それから、娘と小数のかけ算について考えながら、「1あたり量」は比較的拡張しやすくても、「いくつ分」を小数に拡張するのはハードルが高いなぁと思っていたのですが、問題を作らせようとすると逆に、「1あたり量」を見つけることが(娘にとっては)難しいのかもしれない、ということを感じました。ハッピーターンの類題を作るのならば、ハッピーターン1枚に付属するなんらかの量を見つけなければならないのですが、それをすぐに見つけることができない。まあ、さんざん「0.3枚」について考えたあとだったからかもしれませんが。

 そういえば、きのう娘と「0.2×0.3」について考えてみたにおいて、
「かけ算」は2つの量で成り立っている、ということをあらためて思い知ります。それは、(1あたり量)×(いくつ分)の定義であろうが、(「1」とみなされる量)×(倍)であろうが、同じことだろうと思います。(長さ)×(長さ)=(面積)であっても。
と書きましたが、(「1」とみなされる量)×(倍)は、やっぱり「2つの量を必要とはしない」かも。
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きのう娘と「0.2×0.3」について考えてみた

 きのうの夕方、娘が学校から帰ってきたあと、宿題も終わって、毛布を敷いて2人でゴローンと休憩タイムをしているときに、小数のかけ算について話し合ってみました。以前も「こどものちかく」で書いたことですが、「紙とえんぴつ」なしで考えることの面白さをしみじみ感じるきょうこのごろです。そのかわり私自身も起こったことをその場でメモできないので、記憶しておかねばなりません。さて、どのくらい再現できるでしょうか。

 まずは、「0.2×0.3」ってどうやって計算しようか?ということを考えました。最初に娘は0.6という答えを出してきましたが、「ん?」と思ったのか、少し考えて、0.06という答えを出してきました。「0.8×9.2」の筆算では73.6という答えだったのに、今回は小数点を2つずらすということを思いついたようです。なぜそういう展開になったのかというと、おそらく「紙とえんぴつがないので筆算ができなかった」ことと、「2つとも1より小さい小数を使った」ことがミソだったような気がします。

 ほんでもって、どうして0.06になるのかということについて話し合ってみたところ、例の「小さくなる」という発想のほかに、「2×3=6は変わらないんだから……」「20×30=600なんだから、その逆をすればいい」というようなことを言っていました。ちなみに、途中途中で「うちの子、天才〜!」と親バカぶりを発揮したのは言うまでもありません、はい。

 そして今度は、「0.2×0.3」という式になる文章題を作ってみようということになりました。これは、0.2こずつのものが0.3こ分ということだけれど、0.2こずつの0.3こ分ってなによ?

 ここで2つの疑問がわきます。1つは、「小数って何?」ということ。もう1つは、「かけ算って何?」ということ。

 ちなみに娘は、かけ算よりもわり算のほうが好きなようで、しかも小数が好きらしいのです。「1÷8」によほど感動したのでしょう。これまでぜったい無理だったわり算ができるようになったこと。しかもそれがわり切れることの気持ちよさ。おかげで、絶縁した「2ケタでわるわり算」とも復縁しました。

 で、0.2を考えるにあたり、娘は「1このパンを5人で分ける」という案を出してきました。なるほど、そっか、0.2このパンね。それはそれで1切れだけど。0.2こずつ0.3人に分ける……0.3人って?

 そうこうするうち娘は、平方センチメートルという単位を出してきました。1cm^2のパンを5人で分けるというらしいのです。しかも0.3をかけると小さくなるという発想があるので、もはやそれはパンくずじゃないか〜〜ということになり、だいたいこのあたりでお互いの集中力は切れ、小数のかけ算談義は終了したのでした。

 最終的に娘が出してきた案は、「ポケモンの、より複雑な規則を作って、0.2×0.3が出てくるようにする」ということでしたが、具体的にどういう規則か……というところまでは思いつかなかったようです。

 娘が平方センチメートルを出してきたとき、私がまったく誘導尋問をしていないかというと、なんともいえません。そんなつもりはないけど知らず知らずのうちにやっていたかもしれません。というか、そもそも記憶をたどって書いているので、記憶を改ざんしている可能性も低くないわけであり。

 いずれにしろ、「私はこのように受けとめた」ということのレポートであり、すべての子どもがこうであるということではなく、ある1人の子ども(うちの娘)がこう考えた、それをある1人の人間(私)がこう捉えた、というだけの話ではあります。だとしても、そんな子どもが1人いて、そんな大人が1人いたのだ。

 娘と「0.2×0.3」について考えながら、私は2つのことを思いました。1つは、「0.2×0.3=0.06」という計算をしたときの娘は、かけ算を「計算のルール」だけを念頭において考えているということ。いわば、数の世界で小数の計算を考えています。

 しかし、「0.2×0.3」というかけ算の式が使える文章問題を作るということになると、とたんに話は難しくなります。「小数」の登場により、それまでできなかった「1÷8」というわり算ができるようになった。しかし、そうなると今度は、「かけ算とは何だったのか」というところを考えなおすことになる。あるいは、「小数でもかけ算は使えるのだろうか?」と。そういうふうに考えていくと、「かけ算」は2つの量で成り立っている、ということをあらためて思い知ります。それは、(1あたり量)×(いくつ分)の定義であろうが、(「1」とみなされる量)×(倍)であろうが、同じことだろうと思います。(長さ)×(長さ)=(面積)であっても。(追記/やっぱり、(「1」とみなされる量)×(倍)は、2つの量を必要としないかも)

 学校でやることとは話がひっくりかえっていて面白いのですが、実は教科書を作った人も、私と同じ発想を出発点にしているかもしれません。教科書では具体的に量を使ってある場面を設定し、2×3をもとにして0.2×3を理解させ、0.2×0.3を理解させるけれども、きのうの私たちは、まず0.2×0.3ありきで、これに対応する現実的な問題をさがしました。教科書の目的も、実際には針金の重さやジュースの値段を求めることにあるのではなく、かけ算を小数の世界まで拡張させるために、説明しやすい題材をさがした。そして、反転させて学ばせる。のかもしれない。そうじゃないかもしれない。

 「かけ算の順序」問題について、「小数、分数」を含む計算、および「単位量あたりの大きさ、割合」という「小学校高学年」の学習内容を念頭においた議論が(膨大な議論のなかの)どこかにないか、いずれさがしたいです(きっとあるでしょう)。探しつつ、自分でも考えていきたいです。

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小数の計算をめぐる、「かけ算の式の順序」の考察

 現在、娘は小4で、「小数×整数」のかけ算の学習を終えました。「整数×小数」と「小数×小数」は小5で学ぶことになります。もし、かけ算の式の順序にこだわることがおかしいということになれば、「小数×整数」と「整数×小数」の区別は妙だということになるでしょうか。被乗数・乗数という区別を使わずに、因数(メタメタさんのブログのエントリから拝借)という言葉を使っていうならば、「小数と整数を2つの因数とするかけ算」として同時に学ぶべきだ、と。実際、「小数×整数」と「整数×小数」に(学年をまたいでまで)分けて学習するのも、「1あたり量×いくつ分」というかけ算の定義があればこそ。

 で、娘といっしょに小数のかけ算を勉強するようになって、触発されることが多く、いろいろと考えこんでいます。

 まず、小島寛之さんが遠山啓を語るときに言及していた自律性のこと()、あるいは筆算の威力。一度「小数×整数」を筆算で学ぶと、「整数×小数」であろうが、「3×0.02」というような暗算でやったほうがはやそうな計算であろうが、娘は筆算でサクサクこなします。ちなみに、「3×0.02」も「0.02×3」の筆算でやりました。たぶん、もう、0.01の2×3=6つ分、という発想はしないのでしょう。この発想は導入部分だけで。しかし、筆算の威力は、「小数×小数」までには行き渡りませんでした。ここでまた、娘は「意味」にもどることになるでしょう。

 次に思うことは、文章問題の立式の意味。「1mの重さが4gのはり金があります。このはり金1.5m分の重さは何gですか。」という問いの答えを、娘は「4+2=6」で出しました。何も指示をしなければ、「4×1.5」あるいは「1.5×4」という式は出してきません(なお、最初からこの発想で解くのではないかと思って4×1.5 と 6×0.5 という計算問題を出したのですが、娘はどちらも筆算で解きました)。

 はり金1.5m分の重さが知りたければ、たし算で答えを出せばすむ話です。しかし、いまの目的は「小数×整数」の計算の仕組みを知ることなので、この数値を使った出題のしかたは、あまりうまくないと言えそうです。そうなんですよね、結局いまの目的は、「小数の計算の仕組みを知ること」なのだから、そのために適切な問題を選ぶ必要がある。題材含めて。しかし、計算の仕組みを知るだけではなく、その計算を使って問題を解けるようにならなくてはならない。たとえば、上記の問題で、「1.5×4=6」はマルにできるとして、「4+2=6」はどうしましょうか。そんなふうに考えていくと、結局、学校のテストの目的は、「与えられた問題に正しい答えが出せるかどうか」をみるためのものではない、ということになりそうです。知りたいのは学習目的が果たせたかどうかであり。テストでそれがわかるかどうかは疑問ですが、少しでも知りたいのだったらば、問題を周到に作っていかなくてはならない。

 で、それはそうとしても、「1あたり量×いくつ分」のかけ算の定義って、やっぱり“便利”かもなぁと思うきょうこのごろ。だから便宜上こうしておくのはわるいことではないかもしれません。ただし、問題と感じる点が2つ。

 1つは、現場での教え方が極端になってしまっている場合があるらしいということ。なぜこういうことが起きてしまうのでしょうね。

 もう1つは、たぶん、何かがねじれている(あるいは途中で何かがすりかわっている)ということ。って、私の頭がねじれているだけで、教科書的にはスッキリ系統化されているのかもしれませんが。例の二重数直線はもうあたりまえのツールになっているようで、その結果、「単位量あたりの大きさ」が、するっと「割合」に移行しているような印象があります。というか、数教協的には「単位あたり量」だったものが、量ではなく、「大きさ(ある種の割合)」ということで、まとまりつつあるのでしょうか。このあたりまだまだ考察が必要です、個人的に。でも、その場合、「1あたり量×いくつ分」の定義はそのままでいいのかな。この定義、便利なんだけど、やはり「いくつ分→いくら分」で無理が生じるような。
 

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久しぶりに「かけ算の順序」問題を考える(4)/遠距離

 最後に、小学生の保護者として、かなりひいた位置から「かけ算の順序」問題について考えてみようと思います。

 誤解をおそれずに言えば(これだけ書いてきているので誤解されないとは思いますが)、保護者としての自分にとって、「かけ算の順序」問題は、ほぼどうでもよい問題です。テストでかけ算の式にバツをされてもうちの子は不幸にはならないし、マルをされたからといって幸福になれるわけでもありません。

 「評価」という面でいえば、たとえば1学期の通知表で娘は1つだけ「がんばりましょう」をもらってきており、それは算数の「計算や作図ができ、面積を求めたり、数量の関係を調べたりする」という項目に対してでした。おそらくテストで角度を測る問題が全滅だったことが反映されているのではないかと推測しています(実際どうであったかはわかりません)。

 角度の問題でバツになったことについて、娘にくやしかったかどうかあらためて聞いてみたら、少しくやしかったとのこと。でも、あの答えを書いたことを後悔していない?と聞いたら、「うん」と軽やかに答えていました。それでもう十分。

 で、通知表やテストというのは、わが子の学校での様子、あるいは、学校そのものの状況を知るための1つの手がかりではあると思いますが、実際に学校に行かないとわからないこと、学校に行ってもわからないことはたくさんあるかと思います。そのなかからきょうは、学校に行って感じたことを書きます。2学期の学校公開で見た授業の感想です。



 娘の学校の算数の授業は少人数制がとられており、2つの学級を3つのクラスに分けて授業が行われています(担任の先生に算数専科の先生が加わる)。クラスと担当教師は固定されてはいるわけではなく、単元ごとに組み替わっているようです。

 4年生になると単なる少人数制ではなく、コース別になります。それぞれ平仮名4文字の副詞をつかって○○○○コースという名前がついているのですが、ここではAコース、Bコース、Cコースと呼ぶことにします。Aコースは、「どんどん力をつけていこう」、Bコースは「普通にやっていこう」、Cコースは「ゆっくりやっていこう」という感じの進め方で、児童本人が自分でコースを選ぶようになっています。65名くらいを3つに分けるので均等に分ければ20数名ずつになりますが、Cコースは人数が多くなりすぎないように調整されているかもしれません。

 娘は、Cコースを選びました。そして、学校公開が始まる少し前の時期から、「最近、算数が面白い」と言うようになったのです。「小数が面白い」とも言うので、ちょっと驚いてしまった私。小数の勉強って地味そうだし、計算が嫌いな子なのに、小数が面白いってどういうこと??

 で、学校公開中に見学(参観と言うべきか)に行きました。このときの担当は、Aコースが若い先生(娘の担任の先生)、Bコースが算数専科の先生、Cコースがベテランの先生でした。

 見学し始めた私は考え込んでしまいました。特に工夫された教え方というわけではないし、奇をてらったことは何もしていないのです(逆にいうと、余計なこともしていない)。

 いったい何が違うんだろう……?

 出てきた答えは、「空気感」でした。教室の空気が1つになっていて、それが動いている。みんなが1つの空気の中にいて、淀んでいるところがない。まず何よりも人数が少ないことが大きな要素になっているのでしょうが、やはりその空気感は先生がつくっているのだと思いました。そして、教室の空気が1つになっていると、子どもたちは各々1人でいられて、授業に参加できるのかもしれないなぁ、とあとで思いました。

 ちなみにAコースとBコースも廊下から窓越しにちょっとのぞいてみましたが、名前どおりの進度という印象でした。Aコースはさすがに練習量が多く、例の二重数直線のような図も黒板に書いてあった記憶があります。

 私はまずなによりも、Cコースを選んだ娘の選択をほめたいと思いました。算数やるなら、Cコースだよ!と。娘のいう「面白い」は、おそらく、「わかる」ということだったのだと思います。そして、教室の空気が1つになっていて、それが動くことが心地よかったのではなかろうか、と想像しています。

 そのほかの授業もいくつか見学したのですが、本来のクラスでの理科の授業のこととか、そのあとに見た体育の授業のこととか、いろいろ思うところはありました。

 評価も大事でしょう、テストも大事でしょう、教材研究も大事でしょう。でも、やっぱり、学校の基本は授業の時間なんだ……という、ごくあたりまえのことを感じた今回の参観でした。

 家庭教師時代に思ったことなのですが、子どもたちって、大人からみればあたりまえだったり地味に思えたりすること、意外に抽象的なことに、興味をもったり、疑問をもったり、集中したりするんですよね。子どもって基本的に、知りたい生き物だと思う。色つけなくても装飾しなくても、地色のまま、むしろ地色のほうが、入り込んでいける。

 あらためて考えると、工夫しようとすることは、「算数ってもともとつまらないもの」という先入観の裏返しなのかもしれません。もっとシンプルにストレートに、子どもたちに入り込んでいける力が、算数にはあるのではないか。いや、この言い方は、逆方向かもしれない。



 以上、久しぶりに「かけ算の順序」問題について3つの視点から考えてきました。あいかわらず私は、「教師は、かけ算の式の順序にこだわってバツをつけるべきではない」というふうに、意見をまとめることはできません。それよりも、もしかしたら数年後に、バツをつける先生がけっこう減るのではないか?なんてことさえ考えることがあります。「昔はバツだったんだけどね」というコメント付であっさりマルをつけるようになる日が。(反順序派の方々からは、事態はそれほどあまくないと言われるでしょうか)

 で、思うのです。それで、何が変わるのだろう、何か変わるだろうか、と。ひょっとしてひょっとすると、先生によっては、バツにすることも、マルにすることも、根は同じかもしれない。そうだとしても、マルならばそれでいいのか。

 1つ前のエントリでリンクした、JVC>長野県梓川高等学校放送部『漢字テストのふしぎ』に登場する小・中・高の先生たちの話を他の先生方がきいたとき、どういう感想をもたれるでしょうか。代弁してもらったと思うのか、共感するのか、傍目八目で何か思うところがあるか、反感を抱くのか。あのビデオに登場する先生方は、まず、生徒側の疑問をしっかりと受けとめることのできる(インタビューに応じることのできる)先生方だと思いましたし、応答は様々だけれど、それぞれに揺れておられて、なんだかほっとしました。信用できないのはバツをつける教師ではなく、揺れなくなった教師だと思う。そして揺らしたのは生徒たち。

 このエントリの最初で、「かけ算の順序」問題は、わが子の幸せとは関係ない、と書きました。しかし、もちろんのこと、どうでもいいと思っているわけではありません。ですが、たまにはこう言ってみたくなる、言わなくちゃいけないという気持ちになることがあります。なので、言ってみました。

 「かけ算の順序」問題に、“1点突破”の力はあるでしょうか? ここを切り開くと、何かが起こるでしょうか。これだけ長期間話題になって、しかも話題に出るたびに盛り上がり、いろいろな立場の人が興味をもって参加されるのだから、もしかしたら、その力があるのかもしれません。


(年明ける前にこの話題終わらせられてよかった〜)

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久しぶりに「かけ算の順序」問題を考える(3)/中距離(合同・相似の表記と、漢字のとめ・はね・はらい)

 このエントリは、全部読むのが大変でしたら、中ほどと最後のところで☆印をつけている2つのリンク先をのぞいてみていただければ、言いたいことの主旨はあらかたお伝えできるのではないかと思います。



 1つ前のエントリでは、「かけ算の順序」問題そのものから触発されて考えてきたこと、考えたいことを書きましたが、きょうは少し視点をはなして、では、「学校教育のなかで妙なことになっていること」「自分がこれまであたりまえだと思っていたことに実は数学的根拠はないかもしれないこと」「テストでバツをつけられると納得できない基準」が、他にはないだろうか?ということについて考えてみることにします。

 思い出したのは、三角形の合同や相似の証明を書くときに、対応する頂点の順に記号を書くという約束事についてです。教材関係の仕事をする自分としてはごくあたりまえのことだったのですが、10年以上前に何かの議論がきっかけとなり、これはあたりまえのことではないのかもしれないと思うようになりました。高校入試ではバツにはしないという話を高校の先生からうかがった記憶もあります。

 このお約束は、少なくとも中学数学の中においては常識であると私は認識しています。しかし、よくよく考えてみると、なにゆえ対応する頂点の順番でなければならないのか?と疑問がわいてきます。

 次のページの問題1をお借りして考えてみます↓
http://www.smile.hokkaido-c.ed.jp/h18_suugaku/04_hg/hg_03/heiko_03.pdf

 三角形ABCと三角形「イ」が合同であることを示すとき、対応する頂点の順で書けば △ABC≡△GIH となります。実際には、この問題の場合「イ」と答えればよいので、頂点を気にする必要はありません。しかし、三角形「イ」は、△GHIと書き表すこともできるのだから、もし、記号で答えるときに△ABC≡△GHIと書いてバツならば、△GIHと△GHIは別物、となってしまうと思うのです。証明において対応する辺や角そのものを間違えたのであればバツでしょうが、この三角形とこの三角形が合同である、と示す段階においても記号の順序にこだわらなければならないことには、数学的な根拠があるのでしょうか。それとも、教育的配慮なのでしょうか。あるいは、証明を読む人への親切心なのでしょうか。

(追記:このことに関連して、とても貴重なご意見をメールでいただきました。>いつかじっくり考えたい、初等数学教育における幾何学の意味

 で、次のようなとても興味深いページを見つけることができました。

☆ http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4615104.html

 質問者は、三角形の相似を記号を使って書くときには、対応する頂点順に書かなければならないことを知っていて、それをふまえて考えるとよくわからなくなる問題が出てきて困ったので、質問をしたようです。まず質問者は、△ABC∽△PQRと書いたとき、頂点としてはAとP、BとQ、CとRが対応しているのだから、辺としては、ABとPQ、BCとQR、CAとRPが対応しており、また、このように書かなければならないのではないか、と考えています(理解しています)。
 
 しかし、質問者が示している問題では、最初に2つの三角形を△ABCと△DEFという記号で与え、さまざまな条件を示したあと、それぞれの場合で相似になるかどうかを答えさせようとしています。そして、(1)の場合は△ABC∽△EDFとなり、△ABC∽△DEFとはなりません。ここをいったいどう考えたらいいのか、質問者は困ってしまったのだと思います。

 そして何人かの方がつけておられる回答を読んでみると、三角形を“名前”で示すときには対応順に書かなくてもよいが、式に書くときには対応順に書かなくてはいけないという説明があったり、必ずしも対応順に書かなくてもいいという柔軟な姿勢があったり、問題文に最初から頂点の対応を正しく書くと、あまりにも簡単に解けてしまうから、そのことについてはわり切って考えてください、というコメントがついていたり、「その段階で悩んでいると全然前に進めないのではないかと思います。」なんてアドバイスもあったりします。

 質問者は、回答者1人1人に丁寧にお礼を書いていてなんだか感動してしまったのですが、果たしてこの質問者の疑問はぬぐいきれたのだろうか、釈然としないところが残ってはいないのだろうか・・・と思ってしまうのでした。

 というところまでは、算数・数学教育について考えたい自分の視点ですが、今度はぐんとひいて、保護者の立場により近い視点に立つと、自分は間違って覚えていたのだろうか!?と思う場面がけっこうあるのが、「漢字」です。たとえば「満」という漢字の右上の横線2本は下のほうが長いと思っていた私は、娘に注意しようとして、そうではないことに気づき、自分でびっくりしたことがありました。また、「耳」の下の横線は突き出るのに「聞」の中の「耳」の下の横線は突き出ない(ただし、フォントによっては突き出る)ことや「今」という漢字の最後ははらうのかはらわないのかどっちなのかということを考える機会があったり。

 で、漢字については、次のような大変興味深いビデオを見つけました。「東京ビデオフェスティバル」2007年の大賞受賞作品のうちの1つ、長野県梓川高等学校放送部『漢字テストのふしぎ』です。
http://www3.jvckenwood.com/
tvf/archive/grandprize/tvfgrand_29a.html


 高校で「かけ算の順序」にこだわる指導がなされる場面があったら(なかなかないだろうけれど)、これの「かけ算の順序」編がつくってもらえたかな!? 「かけ算の順序」編、見てみたいなぁ〜!

 などなど、学校教育の中には、指導にしろ採点にしろ、いろいろと「?」な部分があるのだと思いますが、ここにあげた2例と「かけ算の順序」問題には、何か共通点があるでしょうか。また、「かけ算の順序」ならではの要素もあるでしょうか。そのあたりもさらに突っ込んで考えていくと、面白いかもしれません。

 それにしてもしみじみ思うことは、現状に何か問題があるとしたら、それを打破してくれるのは中学生、高校生たちかもしれない、ということです。そして、小学生も!


(つづく) 

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久しぶりに「かけ算の順序」問題を考える(2)/近距離

 私の「かけ算の順序」問題に対する近距離の興味は2方向あるのですが、よくよく考えてみると、「かけ算の順序」問題そのものを考えているというよりは、何を考えるときにも自分の興味に引き寄せて考えているだけの話かもしれません。

 1つめの方向は、系統学習のことです。私は系統学習に疑問をもっており、「俯瞰する算数・数学教育」に疑問をもっています。また、いまこれをやっていないとあとでここで躓くといった発想にも疑問をもっています。

 もちろん、なんの脈略もなく、一切系統立てることなく、学校において“教科”を教えていくというのは不可能な話かもしれません。でも、終着地点を知っている人が全体を見渡しながら学習順序を組み立てていくことの有効性を問いなおすことは大切なのではないかと感じています。

 また、実際に子どもたちに教えていく現場の教師、特に小学校の先生は、おそらく全体を見渡すことはできておらず、いつのまにか独自の理由で各々の学習理論や学習内容が正当化されているのではないか、ということを、「かけ算の順序」問題で感じるようになりました。

 小学校の先生は全体を見渡せるようになってから教えるべきだと言いたいのではなく、算数の学習内容は全体を見渡せる人の都合で組み立てられているかもしれないことに対して自覚的になり、全体を見渡せない位置にいるからこそできる授業をやってみてはどうだろうか、というようなことを思っています(教師にならなかった私が言えたことではないですが)。

 たとえば、三角形の定義にさんざんこだわって授業をしているときに、「どうして三辺形ではないんだろう?」という子どもの疑問が出てきたら、いっしょにハっとして、三角形の歴史を調べてみる、あるいは調べてみたらどうだろうか?と問いかけるくらいの自由は、小学校の先生にもあたえられているのではないでしょうか。もっと子どもたちと一緒に、リアルタイムで算数をしてもいいのではないでしょうか。

 私自身は、「かけ算の順序にこだわるようになったのがいつの時代なのか、それはどういう流れでそうなったのか、だれがそうしたのか」について、“実際どうであった”かはひとまずおいといて、とりあえず (1あたり量)×(いくつ分) というかけ算の定義がそのもとになっている、と捉えています。そう捉えられるようになったのも、メタメタさんのおかげです。そして、(いくつ分)×(1あたり量)ではだめなのか?ということと、(1あたり量)と(いくつ分)の数値は交換可能であることなどには興味が向かず、何ゆえ (1あたり量)×(いくつ分) という定義をしたのか?というところに興味をもっています。

 その方向に興味が向かうと、あとは数教協の方法論の話となり、小学校2年生のかけ算は高校での微積分を最終目標とする学習体系のスタートと捉えることができること、「量の理論」は完成されておらず、かけ算から微積分までつながっているように見えて、実は肝心の比例・割合・関数のところで流れが途切れ、飛躍が生じていることなどをこれまで考えてきました。その興味を支えているのは、遠山啓があのとき見ていたもの、見ようとしていたものはなんなのか、それを私も見てみたい、という気持ちがあるからです。

 たとえば、「どうやったら子どもが“正しい”かけ算の式を書けるようになるか?」という意見の中で、○×△=□ の○と□の単位をそろえる、というような説明がなされる場合があるかと思います。「6つのカゴにみかんが4個ずつ入っています。みかんは全部で何個ありますか。」の場合は、4個×6カゴ=24個 というふうに。これを、 4個/カゴ × 6カゴ の形で書くと、いかにも(1あたり量)×(いくつ分)の式に見えますが、基本的にこの発想は、倍概念につながるものであり、4個×6倍 という考えをもとにしているものではないのでしょうか。この式の「6」は「いくつ分」ではなく「割合」であり、「4個」は1あたり量ではありません。このあたりのことについては、以下のエントリで書きました。

 「単位量あたりの大きさ」と「割合」の違い(1) 
 「単位量あたりの大きさ」と「割合」の違い(2)
 「単位量あたりの大きさ」と「割合」の違い(3)


 もう1つの方向は、「かけ算の文章問題を解くための式を書くときに、数値の順序にこだわることは、数学的な間違いなのか?」ということです。言い換えると、「かけ算の順序」問題の解決方法を“数学”に求めることは可能なのか、この問題---文章問題の立式の妥当性---が、“数学的に”決着を見せる日はくるのだろうか、ということです。これについてはまだまったく見えていません。


(つづく)

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久しぶりに「かけ算の順序」問題を考える(1)

 先日、ヨミウリ・オンラインの「発言小町」でかけ算の順序問題が再燃したそうです。メタメタさんがブログで言及されています。>
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2011/1210/467390.htm?o=0&p=1

 私自身の「かけ算の順序」についての考え方は、最初は「かけ算の式の順序にこだわることに対して、そんなに目くじら立てなくてもいいのではないか?」という意見でした。かけ算を学び始めたばかりのころ、(1あたり量)×(いくつ分)の式で統一することに対しては、どちらかというと賛成派でしたし、かけ算のこの定義も基本的には納得しています。

 で、自分は教師ではないので、実際にテストをする立場にはないし、採点する立場にもないわけですが、娘の答案に式の順序でバツをつけられても(実際つけられていますが)、先生に質問に行くことはしていません。以前は、「このチャンスをのがすまじ」と思って質問に行くだろう、と書きましたが()、先生と話すことは他にいっぱいあって、それどころではないというのが正直なところです。

 しかし、ネット上で読めるいろいろな説明や意見を読むようになって、「確かになんだか妙なことになっているかも・・・」と思うようになっていきました。

 はやいもので娘も小学校4年生となり、+、−、×、÷の混じった式も学習しましたし、交換法則・結合法則・分配法則も習いました(用語はナシ)。が、テストではあいかわらずかけ算の順序にこだわる採点はされているようで、先日は「おまけ」で○をもらってきていました(「おまけ」になっているということは、「そろそろいいよ」という意味にもとれますが)。↓


(光文書院/算数 11.式と計算)

 

 娘はわざわざ問題文に出てくるのとは逆に数値をならべて式を書いており、理由をきいてみたのですが、覚えていないそう。「筆算がやりやすいからじゃないの?」ときいてみましたが、そういうわけではないというか、とにかく覚えていないようです。なお、娘はかけ算の式の順序については、「そういうもの」と納得しているようで、こういうところでバツをつけられることより、なにゆえ計算問題の宿題を何度もやらなくちゃいけないのか、のほうが深刻な問題であるようです。

 さて、「かけ算の順序」問題について、順序にこだわるのはおかしいと強く主張している人の要望をひとことでまとめるとしたら、「教師は、かけ算の順序にこだわる指導はやめるべきである」となるのでしょう。「こだわる」が曖昧だとしたら、とりあえず「テストでバツにするのはやめるべきである」となるでしょうか。そうなれば親が意識する機会が激減すると思うので(そして、実際テストでマルならばそれでかまわないということになると思うので)、「かけ算の順序」問題は解決するのかもしれません。

 しかし私は、「なんだか妙なことになっているなぁ」とは思うものの、自分の意見を「教師は、・・・やめるべきである」とまとめることができません。「やめるべきではない」とも言えません。どうでもいいとも思っているわけでもありません。強いていうならば、「かけ算の順序」問題がパカっ!と割れて、何か新しい境地を見せてはくれないだろうか・・・ということを、期待するともなく期待している状態です。すでにどこかで展開されていて、それを見つけられていないだけかもしれませんが。

 自分自身がこの問題をパカっと割ることは(少なくともいまは)できそうにないので、せめてこのもやもやした思いをもう少し形にすべく、「かけ算の順序」問題について久しぶりに考えてみることにしました。1つは、この問題の中に身を置いた近距離の思い。これは、かつてブログで書いたことのおさらいになりそうです。2つめは、この問題を外からながめてみて遠距離で。近距離は数学と算数教育について考えたい自分の視点、遠距離は小学生の保護者としての自分の視点、と言い換えることもできるかもしれません。そしてもう1つ、そのあいだの中距離の思い。全部書けるかどうかわからないけれど、とりあえず書き始めてみます。


(つづく)

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