TETRA'S MATH

数学と数学教育

フィボナッチ数列の母関数のグラフ

 母関数は母・関数なのだ、ということに気づいた私は、関数ならばグラフを描いてみようじゃないかと思いたち、GRAPESを開きました。まずは、母関数の閉じた式でグラフを描いてみました(黄色)。



 次に、一般項を求めるために変形した 1/(1−kx)構成のグラフを重ねてみます(黒)。黄色い線は残したまま描いてみると・・・



 ちゃんと重なってよかった。

 重なることがわかったので、黒を消して黄色を残したあと、無限級数で表した母関数を、x^10の項で切った式をつくり、グラフを描いてみました(赤い点線)。



 やはり「ある部分だけ」重なるようです。x>0の部分はyの値が大きすぎてどこまで寄り添っているのかわからないけれど、x<0の部分はあるところから急にはずれていくようです。近づいてみると・・・



 項の数を変えてみます。緑の点線は x^5 の項まで、青の点線は x^20 の項まで。



 項の次数が増えると、寄り添う範囲が少しずつ広がっていきます。

 これに、|(1+√5)x/2|<1 から導いたxの範囲をグレーの線で表すと、次のようになりました。なお、|(1−√5)x/2|<1 から導けるxの範囲も記入してあるのですが、左右にはずれているので、画面には出ていません。 



(つづく)

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やや力づくの一般項導出を経て気づいたこと

 結城浩『数学ガール』第4章では、「僕」とミルカさんが4つの新しい文字を取り入れることでフィボナッチ数列の一般項をスマートに求めてくれました。

 一方、母関数の閉じた式の分母に黄金比を感じ取ってしまった私は、新しい文字を導入することなく、強引に一般項を求めてしまいたいという思いにかられました。

 というわけで、基本方針は同じ・・・

    1/(1−kx)で構成された式を導き出す

・・・にして、文字の導入なしで一般項捻出を試みます。

 まずは、分母をx^2+x−1の形にして、x^2+x−1=0を解き、その解をもとに因数分解します。次に、分母のかっこの中をそれぞれ1−kxの形にするために、操作を続けます。



 最後に分子がすっきりとxになって「ありがとう〜」と言いたい気分。

 次に、分母が積の形になっているので、これを 1/(1-kx) の形にもっていくために、試しに次の計算をしてみます。



 これまた最後で分子が√5xになってくれて、ありがとう〜〜という感じです。

 よって、次のことがいえます。



 あとは、「僕」とミルカさんと同様にして、



の考え方を使えば一般項が求まるわけですが、すでに書いたように()、k>1なのにそれをしていいかどうか・・・という不安が残ります。

 どう考えたものか戸惑いながら、あれこれ考えました。そもそもなぜこの無限級数の話題が出たかと言うと、無限級数は、ある関数を、その定義域の一部について定義することがあることについて例を使って考えるためでした。

 となると、理解できていないのは母関数の意味なのかもしれない。そう考えたとき、ハタと気づいたこと。母関数は、母・関数ではないか。そうだ、関数だ。(1+√5)/2は確かに約1.618で1より大きいけれど、これはxの係数にすぎない。いま問題になっているのは、kx全体の定義域が−1より大きく1より小さいということではなかったか。(1+√5)/2にはxがついているのだ。馴染みのある黄金比の数値に目を(気持ちを)奪われて、肝心のxのことをすっかり忘れていました。

(つづく)

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一般項導出についての気になりごと

 というわけで、〔フィボナッチ数列の母関数〕→〔母関数の閉じた式〕→〔無限級数にもどす〕→〔一般項〕 という流れを見てきましたが、「僕」は一般項に感動したあと、こんなことを思います。

 僕は、ミルカさんの話を聞きながら、別のことが心配になってきた。無限級数の計算をするときには、和の順序を変えてはまずいんじゃなかったっけ。問題ないんだろうか。ミルカさん・・・・・・。
 一方、ミルカさんはといえば
「条件をきちんと言わなければまずいんだけどね。でも今回はいいのよ。母関数を使って見つけたことは内緒にしておいて、出てきた一般項を数学的帰納法で証明しちゃえばいいんだから」
とすました顔。

 この部分については、PDFファイル「ミルカさんとフィボナッチ数列」の「読者のみなさんへ」の中で、結城浩さんが次のような補足説明をされています。
ミルカさんはすました顔ではしょりましたが、『コンピュータの数学』によれば、0 割りや和の順序を変えることについても厳密に定式化できるそうです。

 ちなみに、上記PDFファイルと書籍『数学ガール』では同じ内容でも表現の仕方が微妙に違っていて(最後の一般項の形も少し違います)、『数学ガール』マニア(!?)にとってはその違いがなかなか興味深いのです。

 というのも、私はといえば0割や和の順序については無頓着でいて、それよりも気になったのは 1/(1−x) と 1/(1−rx) を同じように扱うことだったのですが、上記PDFファイルでは、書籍『数学ガール』で触れられていない1/(1−x)から1/(1−rx)への橋渡しの経過が書かれてあるのです。「僕」も「1/(1−x)または1/(1−rx)に近い形にできないだろうか・・・」というふうに考えています。

 見比べてみると、結果としては書籍『数学ガール』のほうがすっきりと的をしぼった記述になって読みやすいけれど、すっきりしている分、rxを扱うときに慎重になり、|x|<1という条件はrxになったときにどうなるのだろう?ということが気になってきます。

 なぜ気になり始めたかというと、「僕」やミルカさんのように新しい文字を取り入れず、力づくで一般項を導出できないだろうか?と計算しているときに、馴染みのある黄金比の数値が出てきて、(直接計算してみてもすぐわかることだけれど)これは短い部分を1としたときのx、つまり約1.618で1より大きいぞ・・・と思ったからなのです。が・・・

(つづく)
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フィボナッチ数列の母関数から一般項へ

 というわけで、フィボナッチ数列の母関数の閉じた式が求まりました。

     

 今度はこれをもう一度無限級数で表します。そうすれば、無限級数の係数の並びがもとの数列なのだから、数列の一般項を求めることができます。ちなみに私としては、こんなイメージをもちました。↓



 結城浩『数学ガール』ではどう考えてあるかというと、まず「僕」は無限級数のいちばんシンプルな形



 に近づけることができないか?と考えます。フィボナッチ数列の母関数の閉じた式において、分母はxについての2次式なので、r、sという文字を導入し、1−x−x^2=(1−rx)(1−sx)と因数分解できると仮定して計算を進めていくのですが、うまくいきません。

 そこでミルカさんが、分子にもR、Sという新しい文字を用いることをアドバイスします。こうしてr、s、R、Sという4つのパラメータを取り入れたのち、「僕」とミルカさんは次のような式を得ます。(なお、青い丸はこちらでつけたものです。)



 したがって、フィボナッチ数列の一般項は



となります。このあとr、sを求めて代入すれば、完成。




(つづく)

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フィボナッチ数列の母関数

 ある数列 a0、a1、a2、a3、・・・ について調べたいときに、その数列を係数にもつ無限級数の関数

   f(x)=a0x^0+a1x^1+a2x^2+a3x^3+ ・・・

を考えることがあり、これを母関数とよぶようです。数列を直接調べるのではなく、母関数を調べることで、もとの数列の性質を知ろう、というものだと思います。xの次数をずらすことで係数(数列の項)が混ざらないようにしてあるのでしょうが、よくこんなことを思いついたものだな〜!と思うし、こんな対応付けをしていいのだろうか!?とも思います。

 さて、フィボナッチ数列は、隣り合う2つの項を加えて次の項にする数列なので、

 0、1、1、2、3、5、8、13、・・・・・・

となり(なお、ここでは0から考えています)、フィボナッチ数列の母関数F(x)は



となります。この式から母関数の閉じた式をつくりたいわけですが、手がかりはフィボナッチ数列のもともとの仕組み、つまり隣り合う2つの項の和が次の項になっているということ。

 そこで、隣どうしの3つの項に注目して、3つの項が並ぶように、3つの母関数の式を縦に並べてみます。下の図では2、3、5の部分に色をつけてみました。並べただけではxの指数の部分が異なっているので、いちばん上の式にx^2、まんなかの式にxをかけて、指数の部分をそろえると



 椨◆櫚を計算したときに、右辺の縦に並んだ部分がバババババッと消えてくれます。残るのは黄色部分で、係数0のところは0なので、1x^1 つまり x のみ。そして、次のような式変形のもと、母関数の閉じた式ができあがります。



 なお、これは私の我流の書き方で何かと雑なことになっていますが、結城浩『数学ガール』では、もっとちゃんと数学らしくきれいにわかりやすく書かれてあります。 

 さて、ここでいったん『数学ガール』をはなれます。

 上記の式の分母をみると、黄金比のことが頭をかすめます。黄金比というのは、1本の線分を(短い部分):(長い部分)=(長い部分):(全体)となるよう、つまり部分どうしの関係と部分と全体の関係が維持されるように分けたときの比ですが、短い部分をx、長い部分を1とすると、次のような式になり、左辺に上記の分母が現れます。



 ちなみに短い部分を1、長い部分をxとすると、 x^2−x−1=0 という式になり、これはフィボナッチ数列の母関数をもとに一般項を求めるいちばん最後で出てきます。

 すっかり慣れっこになってしまって、感動が薄れていたフィボナッチ数列と黄金比。あらためて考えてみると、つくづく不思議です。

(つづく)

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結城浩『数学ガール』より、「第10章 分割数」

 結城浩『数学ガール』「第10章 分割数」について少し書いてみたいと思います。出版されてから時間もたっているし、ネタバレを気にせず書いていきま〜す。

 最初に『数学ガール』の章立てを眺めてみると、次のようになっています。

  プロローグ
  第1章 数列とパターン
  第2章 数式という名のラブレター
  第3章 ωのワルツ
  第4章 フィボナッチ数列と母関数
  第5章 相加相乗平均の関係
  第6章 ミルカさんの隣で
  第7章 コンボリューション
  第8章 ハーモニック・ナンバー
  第9章 テイラー展開とバーゼル問題
  第10章 分割数
  エピローグ

 このお話は「僕」とミルカさんとテトラちゃんを中心に進んでいくのですが、3人を数学の森のより奥へいざなう存在として、村木先生という高校の先生が登場します。本人が直接出てくるところはなく、折にふれ3人に渡す数学のカード(問題)という形で登場します。別々のお題が渡されることもあるし、同じカードをみんなで考えることもあります。

 第10章で村木先生がみんなに渡したカードは分割数に関するもので、分割数についての説明がなされたあと、次のような2つの問題が書いてありました。

問題10−1
P9を求めよ。

問題10−2
P15<1000は成り立つか。

 まずは問題10−1を具体的に列挙して考えます。一緒に考えるといっても作業は別々。ほどなく30という答えが出ます。そして次の日、問題10−2についてのそれぞれの考察を伝えあいます。

 「僕」は、分割数の母関数を求め、そこから一般項を導いて P15 を直接出して解こうとします。テトラちゃんはP15をP9と同様にすべて書き出します。そしてミルカさんは、問題10−1を解くときにフィボナッチ数との関係が使えそうだということを察知し、一般項を求めず上界を示してこの問題を解きます。

 「僕」が母関数を求めようとしたのにはこれまでの経緯があるのですが、結局、一般項を導くところまではいけず、ミルカさんの解法を見て、問題10−2が不等式で与えられていることの意味を考えなかったこと、方向を間違ってしまったことに対して落ち込むのでした。

 ちなみに、一般項はエピローグで出てきます。私にとってはびっくりするくらい複雑な式ですが、複雑でびっくりというより、求めてしまった(1937年 Hans Rademacher)のがすごい、と思うべきなのかもしれません。

 なお、P15は176であり、問題2の1000という数値とはかなりかけはなれていますが、フィボナッチ数を上界として求めるにはちょうどいい数値です。なので、村木先生はそれを期待してこのカードを出したのでしょう。

 がしかし、ミルカさんはそこで終わらせなかった。母関数を使うという「僕」のアプローチを出発点として、「よりよい上界」を得ることに成功しました。それは「東の森」と「西の丘」を評価する長い旅です。その旅の中で、バーゼル問題が出てくるのです。

 で、その旅に同行する前に、第4章にもどってみます。

(つづく)
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数学を楽しむということ

 結城浩『数学ガール』の中でのバーゼル問題の展開が見事だなぁ〜と思うのは、<僕>と<テトラちゃん>と<ミルカさん>の役割分担がハマっていることと、3人の関係性というかストーリーの展開に<村木先生>の存在がリアリティを与えていることです。

 特に、数学デビュー(?)まもない元気少女テトラちゃんの発見が、そのピュアさゆえに、古の偉大な数学者の発見につながる感じがして、清々しいのです。

 プロローグの第1ページで、<僕>はこう語っています。

 数式を読みながら、古の数学者が感じた感動を、僕も味わう。たとえ、何百年前に証明済みでもかまわない。いま、論理をたどりながら抱く思いは、まちがいなく僕のものだ。
 ほんとにそうだと思う。

 あともうひとつ思うことは、<僕>も<ミルカさん>も基本的には一人で数学を楽しむ人であったのに、語り合って“展開”させていく数学の楽しさを知り、また逆に、先輩にあこがれて数学の楽しみ方を知った<テトラ>ちゃんは、一人で味わう数学の時間を知ったのだな、ということです。

 往年の数学ガール(!?)であるかどうかは疑問の私としても(^^;、同じ気持ちでこのブログを書いています。少しトシをとってしまったので直接語り合いたいという気持ちは薄れてしまったけれど、きょう自分が考えたことをブログに書き、他の人はどう考えているのだろうか?ということを検索して読み、その時どきの自分のテーマに沿った<村木先生>を、日々ネットでさがし続けています。
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「展開」という言葉

 ひきつづき結城浩『数学ガール』について。気をつけてはみても結局はネタバレ部分があると思われますので、まっさらな気持ちでこの本を楽しみたい方は、是非、先に本を読んでくださいませ!

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 『数学ガール』の主人公<僕>は、数式の展開が趣味なんだそうです。最初にここを読んだときには、ちょっと「?」となりました。「数式の変形」や「計算」が趣味なのではなく、「展開」が趣味とはどういうことだろう?

 展開ときいて中学数学レベルで思うことは

   (x−2)(x+3) →→→ x^2+x−6

のように、かっこのついた式を、かっこのない式に形を変えることであり、その逆が因数分解なわけですが、たぶん、どっちがどっちかよくわからない中学生というのはけっこういるんじゃないかと思います(ひょっとすると高校生も?)。問題で「展開しなさい」「因数分解しなさい」とある場合、問題の式を見ればどっちをすればよいかだいたいわかりそうなもんですが、わからないものはわからない。

 ひとつには「分解」という言葉がまぎらわしいのかな?とも思います。かっこをはずして ○+○+○+・・・ とするほうが、なんとなく「分解」という気もしないでもないし。かっこでくくられた因数を目にみえる形にするので「分解」、と考えれば少しわかりやすくなるかな? 積の形←→和の形ということもできるけれど、かっこの中にも+、−があるわけで実は微妙にわかりにくい。中学校の先生たちはどんなふうに教えているのでしょうか?

 で、テトラちゃんのように英語が得意ではない(というか思いっきり苦手な)私は、とっても表面的に英語の用語を考えてしまうのですが、ふと、数学における「展開」は英語でなんというのだろう?と疑問に思いました。調べてみたら、expand のようです。展開というより、ひろがる〜、ふくらむ〜、のびる〜という感じがします。一方「因数」は fact で、「因数分解する」はfactorize だそう。なるほどこっちはそれっぽい。

 さて、因数分解と展開はなんの役に立つかと考えてみたとき、因数分解は方程式の解を求めるのに役立つことが中学数学の知識でもわかりますが、展開は?となるとピンときません。で、ふと気づけば、テイラー展開も展開ではないか! っていうか、これこそ展開・・・!?

 テイラー展開については少しだけ理解したつもりでいたのですが、全然わかっていなかったということを『数学ガール』を読んで感じました。そして、後半で出てくるテトラちゃんの因数分解を使った大発見はすごいな〜と思うことでありました。

 うう、この中途半端なネタバレをなんとする・・・スミマセン

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母関数って

 ネタバレにならないよう気をつけながら、結城浩『数学ガール』について少し書いてみたいと思います。

 この物語は「数列」の話から始まるのですが(ときいて、ありきたりな本と思わないでくださいね〜)、やがて「母関数」という言葉がすごく気になってきます。(ときいて、やっぱり難しい数学の本みたいだから読むのやめようと思わないでくださいね〜)

 そもそも、母関数の英語ってなんだろう?と検索してみたところ、Generating Functions のようです。ジェネレーティングというとジェネレーションときて、そのあとにギャップをつけたくなって、「世代?」と思ってしまうのですが、発生という意味もあるようなので、生成関数の「生成」ということなのだと思います。たぶん。生成関数の生成に「母」をあてて日本語にしたのは、いったい誰なんだろう?

 母関数というのは、ある数列について調べたいときに、その数列を係数にもつ関数を考えて、その関数がどういうものかを調べたのち、数列の性質を知ろうというものなのだと思います。Ikuroさんの言葉を借りれば「数列{an}の数論的性質(離散的)を,関数φ(x)の解析的性質(連続的)によって解明していこうとする発想が母関数のアイディア」とのことで、『数学ガール』においても、離散的世界と連続的世界の行き来というのがテーマになっています。ちなみに『数学ガール』の帯には「オイラー生誕300年に捧ぐ魅惑の数学物語」とあります。

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結城浩『数学ガール』

 お正月に衝動買いしたもう1冊の本は、結城浩『数学ガール』です。衝動買いというのもヘンで、実はこの本についてはすでに知っていたのですが、私は物語形式の数学本があまり好きではないので(たとえ“テトラちゃん”が出てくるとしても!?)買わずにいたのです。

 ご本人の紹介ページから紹介文を引用すると、
 

『数学ガール』は、ミルカさん+テトラちゃん+「僕」という三人の高校生が、数学にチャレンジする楽しい《数学・青春・物語》です。読み物形式でありながら、取り扱う数学的内容は本格的。数学クイズが好きな一般の方から、理系の大学生、社会人まで楽しめるはずです。

とのことで、読んだいまとなってはその通りなのですが、この紹介文の印象よりはるかに面白いと思います。中身を読まないうちにAmazonで注文する気持ちにはなれなかったのだけれど、書店で手にして読んでみて「お!」と思いました。まずはその語り口、文体がイヤではなかった。この手の(会話で進んでいく)本って、ベタ〜ッとしたものになりがちだと思うのですが、そういう不快感がない。さわやか。あとは扱っている数学が、昨年の自分の興味に近かった。テイラー展開とバーゼル問題という章もあります。ちなみに、TETARA'S BLOG のアクセス解析によると、検索ワードも閲覧ページも、いつも「バーゼル問題」は上位です。みんな興味があるのね〜。(先月と先々月は「パットラス」がトップでしたが) あと、ぱらぱらとめくっていると「不機嫌なゼータ」なんて言葉も目に入ってきて、「これは買い!」となりました。

 数式もいっぱい出てきますが、それは丁寧だからいっぱいになるのであって・・・というか、その数式の流れが物語なので、数式が多い=難しい、ということではないと思います。

 とはいえ、私はまだ最初から最後までざっと読んでさわやかな物語を楽しんだだけで鉛筆の作業をしていないので、今度は数式としっかり向き合って、数学を楽しみたいと思います。

 この本は、素直にお薦めです。(数学パズル?が好きな人に向いているかどうかは疑問・・・高校生や高校の先生、いかがですか〜!)

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