TETRA'S MATH

数学と数学教育

永遠の、いま

 遠山啓『量とはなにか−機戮痢岫后殞未糧展」の中で、次のような話が出てきます。(p.268〜269/引用ではなく要約)


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 1,2,3,……と数えすすんでいくことによって、いかに大きな数をも追い抜くことが可能であると考えるときの無限は、“可能性の無限”ともいうべきものである。あるいは“時間的無限”、もしくは“動的無限”。

 しかし、直線を点に分割すると、それらの点は時間的な順序にならんでいるわけではなく、空間的に同時に並存しているのだから、それは“空間的無限”もしくは“静的無限”ともよぶべきものであった。カントルはそのような無限を“実無限”と名づけた。
 
 “実無限”は当時の学界に大きな衝撃をまきおこし、少数の賛同者と多数の反対者をつくりだす結果となった。研究の進行につれてカントル自身もしばしば自信喪失に陥る。懐疑が深まるにつれて、彼は哲学のなかによりどころを求めたが、近代の哲学には実無限の先験者を見いだすことができず、遠くアウグスチヌスの“永遠の、いま”のなかにそれを探しあてることができた。

 全知全能の神は永劫の過去から永劫の未来までを一瞬のうちに見とおすことができるから、人間的な時間はそこで消滅し、すべてが空間的となるとすれば、それはカントルの実無限のささえとなるだろう。

 カントルがまきおこした無限をめぐる議論はいまだに終わっていないし、おそらく数学という学問の中に住みついた永遠のアポリア(難問)であろう。
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 遠山啓にこだわっているとほんとうに面白いなぁと思うのは、「時代」というものが浮かび上がってくることです。ひとつには戦後の民間教育運動という側面があり、もうひとつには数学教育の現代化という側面があると思います。

 遠山啓を理解しようとすることは、上記の2側面を理解しようとすることなのかもしれません。

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「反体制」じゃなくなったエコ

 むかし、エコは、もっとヒッピーだったのだと思う。エコロジー=生態学という本来の意味より少し進んでいたとしても、リサイクルや省エネ家電と結びつく前の頃。現代文明を否定する態度といえるのかもしれないし、自然を愛する態度といえるのかもしれない。

 むかし、エコは、反戦運動や反核運動や反原発運動にどこか通じるものがあったのだと思う。エコがそうだったというより、反[  ]運動に関わる人の根底にいつもエコがあったのかもしれない。

 しかし、エコは、反戦運動や反核運動のように、反[  ]運動という言い方ができない。ピンポイントでいけば反[農薬汚染]、反[捕鯨]など、少し広げると反[自然破壊]、反[過剰消費]になるのかもしれないが、そうやってどんどん広げていくと、反[現代文明]を経て、反[現代人の活動全般]となってしまう。

 エコは難しい。戦う相手がわからない。守ろうとする相手が大きすぎる。1992年のテレビドラマ『地球をダメにする50のかんたんな方法』の中で、原ひさ子演じる寡黙なおばあさんが、嵐の中で「地球を守ろうなんて傲慢だ」とつぶやく場面がある。そして、(ネタばれになるので白文字→)「動物として、鳥葬にしてください」というメモを残して他界する。

 エコは、反[人間の自然に対するエゴイズム]ではあっても、反[ヒューマニズム]ではないはず。となると、エコロジーとヒューマニズムの関係は一体どういうものになるのだろう。ヒューマンは、自然の中で一体どんな位置づけになるのか。地球温暖化を防止したいのは、地球にやさしくしたり地球を守るためではなく、人間の生活を守るためだ。大切にしたいのは自然そのものではなく、人間の役に立つ自然、人間を心地よくさせる自然だ。そもそも環境問題の「環境」とは、人間をとりまく場としての外的状況という意味ではないのだろうか。

 あるいは、人間も自然の一部とみなす生き方であるか。

 エコは、反[  ]のかっこの中に何を入れても、そこに自分が入ってしまう。完全にかっこの外に出るのはとても難しい。

 ならばいっそ、全員をかっこの中に入れてしまえばいいのかもしれない。それが、反[CO2]だったのかもしれない。CO2は、まず何よりも自分の呼気に含まれている。そして、生活するとなんらかの形で発生に関わってしまう。反[フロンガス]ならば、フロンガスを使っているスプレーを使うことをやめればよいような気がした。反[酸性雨]だと話が遠すぎて行動の起こしようがない。しかし、反[CO2]だと、いろいろな形に読み替えることができる。

 だから、いまのエコには思想がない。「私、反原発運動やっているの」という言葉をきいたときにひるむ感じがエコにはない。いや、実際に「私、エコにかかわる運動をやっているの」ときくと多少ひるむかもしれないが、ひるみの意味が違う。

 だから、公的機関の事業に「エコ」という言葉があっても、企業のテレビCMで「エコ」という言葉が連呼されても、もはや違和感を感じない。

 思いは2つ。

 エコは、「体制」にとりこまれてしまったということ。

 エコは、反[  ]で表せる行動ではないのだろうということ。

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無欲という欲

 本日、常体にて。

 かれこれ14、5年前の話になるけれど、ある知人が新興宗教団体のようなグループに入る決意をしたとかで、薄い便箋1枚の手紙が届いたことがあった。

 その前後で考えたこと。

 「無知の知」という言葉があるように、「無欲という欲」があるな、ということ。

 以下は最近考えたこと。

 物欲を捨て、食欲を捨て、色欲を捨て、ありとあらゆる欲を捨てたとする。その、ありとあらゆる欲の中に、「無欲になりたい」という欲は含まれていない。

 あるいは、最後に残せばいいのかもしれない。「無欲になりたい」という欲以外のすべての欲がなくなったあとで、「無欲になりたい」という欲を捨てれば、本当の無欲になれるのかもしれない。ということは、「無欲になりたい」という欲は、最も捨てられない欲ということになる。

 無欲になりたいという欲は、究極の欲かもしれない。

 ちなみに先の知人は、数年で脱退したのだったと思う。

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0と1にまつわるとりとめのない曖昧な思考

 本日、常体にて。

 ゆうべふとんの中で、ふと、1ってすごいなと思った。0の発見・発明は確かにすごかったかもしれない。しかし、1もすごい。いや、そもそも、0と1を対立させて考えることがおかしいのかもしれない。

 松岡正剛さんの千夜千冊、1000夜のあの言葉を思い出していた。「そのとたん、すべてが良寛に舞いこみ、そこから立ち上がって、雪のように舞い散ってくれたのだった。」

 身体感覚として。

 すべてが舞いこみ、そこから立ち上がった「そこ」は、「1」ではないかと思った。

 「0」かもしれない、とも一瞬思った。消失点のような、不動点のような。でも、それはむしろ“雪のように舞い散った”彼方にあるのではなかろうか。

 河本英夫『オートポイエーシス ―― 第三世代システム』の前書きに、こんなことが書いてある。

 オートポイエーシスが議論の焦点の一つとしているものに、「境界」がある。自己の境界はどこにあるのかと問うさいの境界である。口の中に雑居する六十億個の細菌は、自己の内なのか外なのか。腸の中に住む百億個の雑菌は自己の内なのか外なのか。酸素を吸着する肺細胞の一歩手前は、内なのか外なのか。いったいどのようにして自己の境界を考えたらよいのか。

 ひとりの私の中に、気が遠くなるような「1」がひしめきあっている。六十億個にしろ百億個にしろ、数えられるということは、「1」で構成されているということ。

 これにウィルスが入ってきたら、さらに話はややこしい。生き物を「細胞で構成されるもの」と定義するのなら、細胞をもたないウィルスは生き物ではない。なのに遺伝物質をもち、他人の細胞で増殖していく。自分だけでは生きられないから、ウィルスは「1」にはなれない。でも、「1」にもならないものが(ならないから?)増殖を続けていく。

 自分が妊娠したとき、生まれてくる子が女の子だということは胎児の段階でわかっていた。ってことは、私のおなかの中の子どもの中にすでに卵子があるってこと? 卵子も精子もそれぞれ「1」であり、受精して新たな「1」になる。なりたての新たな「1」が、次の「1」を内包している不思議。その「1」は、次の「1」への可能性(情報)を有している。

 りんご1個を8等分に切り、それの約3分の1をかじりとって口に入れた私。口の中にある(約24分の1)個のりんごはまだ私ではない。まずければすぐに吐き出せる。そうして噛み砕き、すりつぶす。食道に入るときに境目を超えるのか? それとも胃のあたり? そうしてまないたの上に残った芯とりんごの種。種は何個ある? 

 0であることは、何もないのではなく、ある場所に何もないということなのだということを、このあいだ考えたばかり。場所があるということは、壁なり皿なり囲いなり、場所をつくる境目があるということ。その境目の内側に何もないのが0ということ。1が1になれるのは、あなたと私を隔てる確固たる境目があるということ。境目ができたときに、同時発生的に1ができる。1は、境目の内側がきっちり<私>で満たされているということか。いや、少し違う気がする。そもそも、0と1とでは、境目とのつきあい方が違う気がする。

 1は、ものの数え始めであり、単位でもある。そして、完成体でもある。ない、ある、のあるである。だれかに掛かって、すべてを自分にしてしまう0もすごいけれど、だれかに掛かって、その「だれか」になる1はもっとすごい。いや、0にしろ、1にしろ、答えが出たときには新しい0であり、新しいもとの大きさの数なのかもしれない。だれかに掛かって、自分の大きさの答えを出す0。だれかに掛かって、相手の大きさの答えを出す1。そう考えると、1は何を考えているのかわからなくて、ちょっと身構えてしまう。


〔追記〕
 ウイルスは核酸をタンパク質の殻が囲んでいるそうなので、そういう意味じゃ「1」なのかもしれませんね。豚インフルエンザのニュースでウィルスの拡大画像がよく出ていましたが、あれを見る限り、その気になればウィルスも数えられるのかしらん!?

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十進構造のリフレイン

 高橋誠『和算で数に強くなる!』の前書きは、中島みゆきの歌詞で始まります。一方私の頭の中では、松任谷由実の「リフレインが叫んでる」がめぐるきょうこのごろ。

 というのも、森毅『数の現象学』を読んでいたからです。この本の中に「幻想の小数で世界を作る」という一節があり、「リフレイン」という言葉が出てくるのです。この話は小学校での「大きな数」の指導例から始まり、1mm方眼を「一」として1mm×1cmで「十」、1cm×1cmで「百」、1cm×10cmで「千」、…、最後に1m×1mの「百万」を作る方式が紹介してあります。

 こういうタイルを使った十進法の理解は、数教協のもっとも得意とするところでしょうし、算数教育にとって大変に意義深い出来事だったのだと思います。ただ個人的には、十進法の理解においてタイルやブロックを使った方法はとても有効であると思うけれど、その後もずーーっとタイルにこだわり続ける必要はない(タイルを使ってもかまわないが、タイルじゃないといけない、タイルがいちばんわかりやすいと決め付けないほうがいい)と思っています。この話はいずれまた。

 森毅先生いわく、「校庭に並んだ一から億までを、3階の窓から見下ろした小学生は、ほとんど小数を実感するだろう。十進法を理解することは、すでに小数を理解することにつながっている。」

 さて、江戸時代の人々は、小数をどんなものと捉えていたんでしょうか? 漢数字の単位は、上から順に「分、厘、毫、糸、忽、微、繊、沙、塵、……」となっているわけですが、「……」の先に何があると思っていたのでしょう。実は、江戸時代の前半と後半では、その捉え方が違っているそうなのです。というか、江戸時代の後半で大転換が起こったらしいのです。

 ということについて、高橋誠『和算で数に強くなる!』では、1つ1つ文献をおいながら考察・分析がなされています。ここで種明かしはしませんが、p.41の図1−9は感動ものです。

 なお、高橋誠さんの前著(金谷俊秀さんとの共著)『やわらか頭「江戸脳」をつくる和算ドリル』で示されている、“和算にはなかった5つの「常識」”をのぞいてみると、

1.算用数字と計算記号、位取り記数法
2.「内包量」の概念
3.分数
4.角度
5.連続と無限

となっています。『和算で数に強くなる!』では、上記の1〜5についてさらに丁寧に考察・分析されており、特に第一章は1と5に関わる話になっていて面白いです。

 

 

〔2017年11月24日追記〕記事の一部を削除・修正しました。

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「零」はどこからきたか

 高橋誠『和算で数に強くなる!』(ちくま新書)の紹介をしています。ネタバレをかなり含みますので、まっさらな気持ちで本を読みたい方は、まず本を読んでくださいませ!

 さて、古代中国の算木の計算において、計算結果は漢数字で表していたものの、算木の最初の置き方や途中の計算の仕方を紙に書く場合がありました。このとき、算木を置かない空位を示すゼロ記号が必要となり、小円「○」で表していたそうです。また、それよりだいぶ前の8世紀には、空位を表すために「点」を書くことも知られていたようです。なぜ知られていたかについては、インドとの関係性が書かれてあります。

 では、算木数字の「○」ではなく、数を表す漢数字はどうであったかというと、12世紀の書物に1310072を十三萬一千□□七十二と記している例があるそうで、この小さい四角はもともとは脱落した文字を表す記号だったのが、空位を表す記号にも転用されたものだとのこと。

 そして、13世紀の数学の本では、「0」が「零」で示されているそうです。「零」はもともとは「雫(しずく)」と同じ意味であり、算木数字の「○」が物の上に残った丸い雨滴と形が似ているから「零」が使われるようになったという説があるのだとか。(ジョゼフ・ニーダム『中国の科学と文明 第4巻 数学』1991)

 以上のことが、1つ1つ細かく文献をあげて述べられています。

 というわけで、中国の数学書を通して日本にも「零」がやってきたようです。しかし、ここでいうところの「零」は小円「○」とともに、空位を表す「記号としてのゼロ」であり、すべての位が空位のときや、同じ数を引き算したときの答えや、四則計算ができる「数としてのゼロ」ではなかったわけです。

 ちなみに、この本の帯にある「江戸から現代へ算術四○○年の旅」の「四○○」の「○」が、まんまるなのが一目見て印象的なのですが、私は最初の紹介文のときに「四〇〇」という、ちょっと横長の楕円状の〇(漢数字)を使って書いてしまいました。「400」を変換するとそうなるのです。横書きだから「四百」ではしっくりこないし、江戸から現代への算術だから「400」もしっくりこないのだけれど、「四○○」と書くと○が目立って不思議な感じがします。たて書きの本では、西暦を示すときに二○○九年というふうにゼロがまんまるで書かれてあるものですが、もともとが縦書きのゼロなので仕方ないというか、あまり違和感がありません。でも、横書きにするといかにも小円「○」という感じがして、本の内容とリンクしていて面白いです。

 さて、そういえば「空」はどうなったんだろう?という疑問がわいてきますが、中国の場合も日本の場合も、数値0にあたるところに「空」という文字が書かれている文献があるそうです。

 そうして話は、第一章の核心部分(そしておそらくこの本の主要テーマの1つ)にさしかかってきます。ので、ちょっと慎重に、書きすぎないよう、レビューの予定。

(つづく)
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高橋誠『和算で数に強くなる!』(ちくま新書)

 もう何年にもわたって、いつもいつも知的な刺激を与えていただいているメタメタさんこと高橋誠さんの新しい本が出ました! 気がつけば初の単著なのですね。

            

 メタメタさんが和算にこだわっておられることはもちろん知っていて、植木算やニュートン算、紀元前と紀元後のハザマのことや、分離量・連続量、基数・序数、数直線の原点の0にこだわっておられることもよく知っていたけれど、そのこだわりの源泉・動機がどこからくるのかについてはずっとわからずにいたのです。わからずにいたというより、首を傾げていた、と言ってもいいのかもしれない。メタメタさんをここまで根気強くさせているのはいったいなんなのだろう? メタメタさんがこだわっている事柄には、どこにそんな面白さがあるのだろう? というふうに。

 しかし最近、戦後の算数・数学教育をとりまく社会状況をのぞいてみて、算数・数学教育を考えたいのなら、もう少し遡って、和算から洋算へのシフトのことを考えなければ何も見えてこないのだ……と自覚した瞬間、メタメタさんが何にこだわっておられるのかを少し感じ取れた気がしました。(あたっているかどうかはわかりません)

 というわけで、私としてはかなりタイムリーにこの本を手にできたと思います。ちなみに『和算で数に強くなる!』というタイトルは中身とあまりリンクしていないように感じられ、むしろ帯にある「江戸から現代へ算術四〇〇年の旅」のほうが、イメージに近いです。

 文献に出てくる問題を1つ1つたどりながら、mixiでの議論で得られた成果もうまく取り入れて、丁寧に丁寧に四〇〇年が考察してあります。丁寧でありながら、ひょっとすると大胆なことが書いてある本なのかもしれません。

 刊行されたばかりの本なので、普段であればネタバレに注意するところですが、今回はあまり気にせず感想を書く予定ですので、まっさらな気持ちで本を手にしたい方は、まず、本を読んでくださいませ!

(つづく)

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なつやすみ



 かつてこれほど夏休みを待ち望んでいた年があっただろうか!? 学校の先生でも生徒でもないのに、園の保護者として係をしているというだけで、とてもとてもいそがしい一学期でした。夏休みも残務?があるけれど、とりあえずしばらくは自分の好きなことして充電するぞー。

 上の画像は、半年くらい前だったか、娘がGRAPESで描いたものです。私がGRAPESでよく遊んでいたころ、娘も興味をもって、お絵かきツールのひとつと思ったらしく、「“ぶどう”やる〜」といって時々パソコンでひとりで遊んでいました。

 適当に式を入力したらグラフを描いてくれるとはいえ、メチャクチャな式ではさすがにGRAPESでもグラフを描きようがないので、娘には極座標の入力画面(もちろん意味は知らない)を出して、sin 、cos、θ のあたりをいくつか押すといいよ〜といって教えたら、自分で適当に色も変えて遊んでいるうち上のような作品ができました。式を記録しておかなかったのが残念!

 とても気に入っているので、景気づけに載せちゃいま〜す!
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連分数と互除法

 分数と互除法では、連続量から分数が生まれてくる様子をみていきました。じゃあ、無理数の場合はどうなるんだろう?という疑問がわいてきます。せっかく連続量で考えているんだから、無理数の場合も考えたくなるというもの。

 そしてハタと気づいたこと。そうだ、連分数だ。連分数のことを考えなくちゃ。

 まずは有理数を(正則)連分数で表すことを互除法を使って考えてみることにしました。

  

 a を b でわったときのあまり(黄色部分)を c とすると、上記のような式ができるので、両辺を b でわってみると、

  

 今度は b を c でわるのだから、c/b を変形して、

  …(1)

 そして b を c でわります。

  

 あまり(緑部分)を d とすると、上記のような式ができるので、両辺を c でわって、

  

 これを(1)に代入して、

  

 d/c を変形して、

  ・・・(2)

 最後に、c を d でわります。

 

 これを(2)に代入して、

  

 半端な部分がなくなるので右辺から文字が消えました。ここで終わりです。

 正則連分数の形にするには、計算途中で分数が出てきたときに、分母と分子をそれぞれ分子でわって、分子が1になるようにすればよいわけですが、そうすることで分母と分子が入れ替わった分数が現れてきます。この「分子と分母を入れ替える」というのが、まさに「はかる側」と「はかられる側」の逆転を示していて、互除法の性質をよくあらわしているなぁ、と思うのでした。

 なお、途中で出てきたその時々の「単位」のいくつ分かを表す数値が、連分数のなかにどう残っていくのかを枠の色で表してみると、次のようになります。

  

 次は無理数です。

  

 a=√2、b=1 の場合について考えてみます。

 まず、a を b でわります。

  

 a=b+c で、c=√2−1 です。

 先ほどと同じように式変形をすると、次のようになります。

  ・・・(3)

 次に、b を c でわります。先に計算をしておくと、

……(4)

 よって、cが2つとれることがわかります。



 b=2c+d で、d=3−2√2 です。

 (3)に(4)を代入して、



  ここですでにわかるように、√2/1 を連分数で表そうとするときに出てくる分数の分母はつねに √2−1 なので、このあとも 1/(√2−1)=2+(√2−1) を次々に代入していけばよいことになります。

 よって「単位のいくつ分かを表す数値の整数部分」はつねに2であり、√2は次のような連分数で表せることがわかります。

  

 一応、c と d の関係についても、確認しておくと、

 

 b/c と一致しました。このあとの計算に出てくるあまり(=その時々の新しい「単位」)を順に e、f、g、……とすると、b/c=c/d=d/e=e/f=……となります。




〔2018年3月24日/分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。〕
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分数と互除法

 遠山啓の『量とはなにか−機戮法◆嵎数が生まれてくるまで」という項目があります。分数の発生の歴史を述べるものではなく、連続量から分数や小数がどうやってでてくるかを論理的に示したものです。ちょっと面白いので、自分で図をかいて考えてみました。



 たとえば、ある長さの棒a(赤)を、ほかの単位の長さの棒b(青)ではかる手順を考えます。



 aはbの2つ分より長く、3つ分より短くて、黄色い枠が半端な部分として残りました。



 そこで今度は、bを黄色い枠ではかってみたら、ちょうど5つ分になりました。

 つまり、黄色い枠はbの5分の1です。

 したがって、a=(2+1/5)bとなります。

 これに対して小数の考え方は、bでちょうどはかれなかったので、bを10等分した長さ(水色の枠)をつくろうというものです。



 aの半端部分を水色の枠ではかると、2つ分になりました。


 
 よって a=2.2b となります。

 小数の場合、あくまでもbをモノサシとして考えていこう、という態度で通しています。

 さて、分数については、2段階で終わるもの(○+1/○の形になるもの)はわかりました。じゃあ、2段階で終わらないものはどうなるのだろう?



 a は b の2つ分で、c だけあまりました。



 b は c の2つ分で、d だけあまりました。



 今度は、c を d ではかると、ちょうど2つ分になりました。



 つまり、b は d の 2×2+1=5(つ分)だから、c=2/5b

 したがって、a=(2+2/5)b

 これでいいのかな?

 けっきょく互除法というのは、2つの棒のそれぞれの長さを“いくつ分”としてちょうどはかりきることのできる共通の「単位」をさがす作業であり、この「単位」というのはまさに(整数でいうところの)最大公約数なのだなぁ、と思いました。なるほど、G.C.M.(Greatest Common Measure)「最大共通尺度」の意味もよくわかります。

 そして、上記の例でいえば d が「単位」になり、a は d の 5×2+2=12(こ分)、b は d の5こ分で、12:5 → 12/5

 ということは、互除法で得られる分数は、比の分数、関係としての分数ということになりそうです。

 互除法から生まれる分数の場合、a を b ではかったかと思えば、今度は a の一部 c で b をはかり、そのあまり d でまた c をはかる……というように、a も b も立場は同じで、どちらが主導権をもっているというわけではなく、お互いに「はかる」「はかられる」の立場を変えながら、最終的には、a と b を共通にはかれる単位をさがしています。

 だから、a は b の 12/5 だし、b は a の 5/12 というふうに、ひっくりかえしてみても違和感がありません。

 と考えると、量分数(分割分数)は、小数に近いということなのかな?

 森毅著『数の現象学』によれば、中国分数は小数的であり、等分割によって得られた新しい「小単位」でモノサシの刻みをつくっていくという発想のもとにあるようです。このような分数のよさは加減との相性のよさにある、とも書かれています。

 さて、では日本はといえば、中国と同じく小数文化圏なのだから、分割分数が発展していてよさそうなものですが、江戸時代までは存在していなかったようです。でも、小数があるのだから、わざわざ分割分数を使う必要もなく、小数でつっきったのかもしれません。というわけで、日本は完全な小数文化圏ということになるのでしょう。

 『量とはなにか−機戮砲いての「分数が生まれるまで」は「連続量から分数が生まれることを論理的に示したもの」とされていますが、互除法ときくとやはり整数のことを思い出します。実際、棒の長さをおはじきの個数にかえても、分数の場合はそのまま素直に話が成り立ちます。

 これに比べて小数のほうは、おはじきの個数では同じ作業ができないというか考えにくいので、小数は連続量向きだなぁ、とも思えてきます。あるいは、分離量でも対応できる小数的分数が、中国分数と考えることもできそうです。

 がしかし、分数、小数の発生の仕組みをともに連続量で考えることで、分数と小数の起源の違い ――「はかる側」と「はかられる側」の関係 ―― がより明確になるなぁ、と思いました。この場合、棒の長さが「未測量」であることがミソなのでしょう。

 たとえば12個のおはじきと5個のおはじき(あるいは24個のおはじきと10個のおはじき)のように、最初から個数がわかっているものの関係・比を表すのではなく、長さが数値では表されていない「同種の2つの量の比較」から分数が生まれてくる様子を示しているところに意味があるのだと思いました。




〔2018年3月23日/2つに分けて書いていた記事をひとつにまとめて整理しました。〕
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