TETRA'S MATH

数学と数学教育

論理学の幾何学的表現

 2つの集合a、bについてのべン図をかいたときにできる4つの領域に、次のように1,2,3,4の番号をつけます。

  

 そして、集合{1,2,3,4}のベキ集合を考え、含む・含まれるの関係をハッセ図に表してみます。(集合を示す{ }は省略)

  

 空集合を黄色、元が1個のものを赤、2個のものを緑、3個のものを青、4個のもの(もとの集合)を黒で表してみました。

 さて、同じ図を、番号ではなくa、bの記号で表すと、次のようになります。∩は省略して、a∩bをabと書いてあります。

  
          
  

 論理学の構造は、つまりはこういう図で表せるらしいのです。(山下正男『論理学史』図4を参考にかき起こしたもの)

 さらに、この図を少し変形することで、とても美しい図ができあがります。その美しさの意味がようやくわかってきたきょうこのごろ。(山下正男『論理学史』の図1をほぼそのままかき起こしたものですが、点の色はこちらでつけました。また、式を一部省略してあります。)

  

 上下の対応や左右の対応も面白いですが、なんといっても点対称の位置に注目したいです。点対称の位置にある2つの要素は互いに否定になっており、つまりこの図においては、否定するということは180度回転することになります。そして、2度否定すると360度回転して、もとの位置(自分自身)にもどります。(どこかできいた話だぞ!)

 これはブール代数の「対合律」、いわゆる二重否定の法則にあたります。

 〔対合律〕

  

 何が感動的って、ド・モルガンの法則がそのまま図に表れていること。

 〔ド・モルガンの法則〕

  

 高校生のころは「否定をバラすかわりに記号をひっくり返せばいいんだな」くらいの意識で丸暗記していたのだと思いますが、こんなにきれいな関係のなかに位置していたのだと知ると、見え方もかわってきます。

 なお、ジェヴォンズはベキ等律や吸収律などの法則を見つけましたが、“対になる法則”という意味では、この「ド・モルガンの法則」はやっぱり見事です。発見したのはド・モルガンだけど、「ド・モルガンの定理」という名前を与えたのはシュレーダーなのだそうです。というわけで、「双対性の原理」を確立したのは、シュレーダーでした。

 ちなみに、山下正男『論理学史』においては、Iの真下の緑の点とOの真上の緑の点に、それぞれ次のような式が示されています。

  
     
 他の部分に比べて本当に互いに否定になっているかどうかがすぐにわかりませんが、ベン図、式変形、真理値表などで確かめることができます。結局のところ真理値表がいちばん便利です。パキパキパキパキやっていけばいいので。



〔2018年3月25日追記〕
 
 分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。
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「量」とは別の「質」の論理学

 ブール環をほんの少しかじってみたおかげで、束の「双対原理」が以前より面白くなってきました。

 ブールは、後世のブール束の原型をつくった。
 “指数律”(ベキ等律)も見つけていた。
 しかしそこに「吸収律」はなく、束の「双対原理」がなかった。

 それというのも、“あるいは”として、排他的選言を採用していたから。ちなみに、排他的選言を採用したとしても、∪、∩に相当する概念や記号を導入していたら、双対的な構造に気づき得たとのこと(by山下正男氏)。

 なお、野矢茂樹『論理学』では∨を「両立的選言」、▽を「排反的選言」と呼んでいますが、山下正男『論理学史』では、非排他的選言・排他的選言という区別をしています。

 さて、じゃあ、“束”の双対性を発見したのはだれか?ということになるわけですが、その前段階として、ブールの体系を研究したのちに、自らの論理学の基本操作に非排他的「または」を採用したのが、ジェヴォンズという人なのだそうです。その結果、

   AA=A ・・・・・・ A+A=A
   A+AB=A ・・・・・・ A(A+B)=A

という対をなす法則を発見しました。上はベキ等律だし、下は吸収律です。(しかし、ジェヴォンズは双対的な法則をいくつか見つけ出したものの、双対性の原理そのものを確立したわけではなかった)

 ジェヴォンズは自らの体系を“類・種の代数学あるいは質の代数学”と呼んだそうです。たとえば、A+A=A は、Aが量ならば 2A=A となってしまいそうですが、Aが質であれば、「同じ質のものを加えても質そのものは変わらない」と考えることができます。

ブールは論理学の代数化を志したのであるが,数量を扱う古くからの意味での代数とのパラレリズムを追求しすぎた結果,A+A=0といった式に対しては論理的解釈を下しにくくなってしまったのであるが,ジェヴォンズははっきりと自分の代数体系は数量を扱うものではなく,したがってA+A=Aという式が出ても当然であり,むしろそこにこそ,数学とは異なる論理学の特有性があると見たのである.

(山下正男『論理学史』p.47)

 時代としてはいつごろなのかネットで調べたところ、1864年にジェヴォンズの『純粋論理学、または量とは別の質の論理学』が出版されているようです。私が生まれるちょうど100年前、たった100年前だ。ちなみに1864年はブールが亡くなった年でもあるようです。ブールとジェヴォンズは20歳差くらいだったようなので、活躍した時期はずれるのでしょうが、そんなに時代がはなれていたわけではないんだなぁ、と思いました。

 話はずれますが、こんなふうに(20世紀のすったもんだに入る前の)19世紀の半ばから終わりごろの様子を眺めてみると、遠山啓が“量”にこだわった意味がわかってくる気がしました。時代としても専門家としても、「構造(を扱う数学)」の“威力”と“新しさ”を知っている人だったから、あんなに「量」にこだわったのかもしれないな。

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色分けで感じる排他的論理和

 結城浩さんが“はてな日記”においてランチのご注文のお品は奇数個ですねというエントリを書いておられます。わぉ! このブログの「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」に反応&リンクしていただいてありがとうございますっ!

 真理値表を書くという発想はまったく思い浮かびませんでした。(野矢茂樹『論理学』では排反的選言に▽の記号をあてて新しく真理関数を定義しているという話を書いているにも関わらず・・・

 排他的論理和の結合律を考えるにあたり、次のように段階的なベン図をかいたのですが、xとyの輪にzの輪を重ねると色が反転する感覚が面白いなぁとは思っていたのでした。

  

 これはつまり、TとTならF、1と1なら0ということであり、排反的選言の特徴(両立的選言と違うところ)なのですよね。

 せっかくなので、4つの集合についてもベン図で考えてみようと思いたち、対称な図になるのかしらん?という軽い気持ちで花のような図をかいたのですが、なんかヘン。3つの輪が重なったときにできたすべての領域を横切らなくちゃいけない(2つに分けなくちゃいけない)んだけど、そうするとなんだかぐにょ〜んとした図になってしまわないかい?

 これはきっとだれかがすでに描いていてくれているに違いないと思って検索してみたら、果たして描いてくださっていました。↓(リンク切れにつき削除しました)
 
 なるほど、なるほど。最後の長方形を分割していく図がわかりやすそうです。そういえば山下正男『論理学史』にも4分割の図が載っていましたっけ。この図を使って集合が4つ、5つ、6つになったときの排他的論理和の結果はどうなっていくのか色分けしてみました。(あってるかしらん?)

  

 ちなみに赤枠は“すべてのドリンクを頼む場合”に対応する領域です。ドリンクの種類が偶数なら色ナシ、奇数なら色アリなんだな。

 ついでに、3つの集合の場合についてT、Fの文字も入れてみました。

  

 Tが偶数個なら色ナシ、奇数個なら色アリなんだなぁ。


〔追記1〕

 集合が5つ、6つになった場合のe、fの線を領域の途中で折り曲げましたが、線に青や黄色の色もつけていることだし、辺にそって描いても大丈夫だということに気づきました。そのほうがすっきりとした市松模様になってきれいですね!(前の図は前の図で、反転する様子がわかって味わい深いけど)

  


〔追記2〕

 色分けで感じる排他的論理和で使った長方形を分割していくような図式化は、『不思議の国のアリス』を書いたルイス・キャロル(C.L.ドジスン)の考案なのだそうです(『記号論理学』1896年)。ということが山下正男『論理学史』p.54に書いてあるのによみ飛ばしていました!

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ブール束とブール環の関係

 ブール環が本当に「単位的可換環」なのかどうかを確かめ中です。

(+)についての結合律
 あっているかどうかはわからないけれど、前回の確かめでとりあえずよしとすることにしました。

(+)についての単位元(零元)…x(+)O=xより、O

(+)についての逆元…x(+)x=Oより、x

(+)についての交換律…大丈夫だろう、うん。

 乗法・についてはいじっていないのだから、結合律、単位元、交換律ともに大丈夫そうです。・の(+)に関する分配律も確認しました。ちなみに、(+)の・に関する分配律は成り立たないのかしらん?と思い、式変形とベン図で確かめてみましたが、なるほど成り立たないようでした。

 これでみんなOKかな。

 となると、代数系(B;+,・)と代数系(B;(+),・)では何がちがってくるのだろう…?

 x+(何か)=O にはなれないので、前者は加法についての逆元が存在しません。そのかわりといってはなんですが、x+x=x となり、加法についてもベキ等律が成り立ちます。さらに、+の・に関する分配律も成り立ちます。となると、つくづく「束」というのは、+と・を入れ替えても成り立つ「双対原理」が特徴的なのだなぁと思うことでありました。

 ブール束は分配束なので、分配律が成り立ちます。また、ブール環では乗法の冪等律は成り立ちます。ということは、「環と束」よりも、「ブール環とブール束」は、共通部分が大きくて、ほとんど同じということなのでしょうか?

 ちなみに、『情報の論理数学入門』では、ブール代数=ブール束という書き方はしてありますが、ブール代数=ブール環とは書いてありません。ただ、ブール環をつくるときに新しい加法的演算(+)をブール代数の+、・、 ̄で定義しているので、そうなるとブール環はブール代数のなかに入っているのかな?という気もします。「環」「束」「ブール代数」「ブール束」「ブール環」の包含関係を表すベン図をだれかにかいてほしい気分。

(つづく)

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「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」

 ブール環が本当に環になるかどうかを確かめるべく、まずは排他的論理和(+)(←丸付プラス)の結合律を考えました。ちなみにテキストでは「容易に確かめられる」と書いてあるだけなのです。交換律はともかく、結合律はなんか不安だし。

 (+)についての結合律が成り立つということは、

     

が成り立つということだから、左右をそれぞれ変形して同じ形にすればいいと考えました。なので、(+)のおおもとの定義x(+)y=( ̄x・y)+(x・ ̄y)にもどって、ド・モルガンの法則を駆使しつつ次のように式変形してみたのです。(なお、式変形が正しいかどうかはまったく自信がないので、信用しないでください〜)



 途中の分配律が若干不安ですが、とりあえず上記のようになり、x・y・zが出てきてしまいます。なぜ「しまいます」と思ったかというと、x(+)y(+)zは、xかyかzのどれかひとつ---「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースのどれか1つがつきます」---というイメージをもっていたので、上図左下のようなベン図かかけると思っていたのです。x・y・zが消えてくれないかなぁと思いつつ、とりあえず右辺も変形してみたら、同じになりました。…あれ? x・y・zがあっていいのかな?

 段階的に考えてみると、x(+)y であるか、zであるかのどちらか一方なのだから……

     

 おお。まんなかのx∩y∩zも入るのですか? となると、排反的選言の「または」を採用している喫茶店でランチのドリンクが3種類になれば、すべてのドリンクを頼むという選択肢も出てくるのだろうか…!?

色分けで感じる排他的論理和

(つづく)
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「ブール環」ってなんだろう?

 「環」とは何であったか、ソラで言えるだろうか?と試してみましたが、案の定言えやしないし。唯一ぼんやり思い浮かぶのは、「乗法の逆元がないんだったかな?」ということです。それが思い浮かぶのは、結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』のおかげです。ちなみに『数学ガール/フェルマーの最終定理』は真夏に出版されましたが、個人的には今の時期に読み始めて12月中旬くらいに読み終わるのが、肌感覚としてはとてもよいのではないかと思われます。

 というわけで、まずはアーベル群の復習をば。

(1つの演算に対して、演算について閉じているうえで)


 そして、環およびブール環です。


           ※分配律の右辺の( )が抜けてました。


 じゃあ、ほんとうに環になるのかどうか確かめようと思い、排他的論理和(+)についての結合律を考えていたら……

(つづく)

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「ランチには、コーヒーまたは紅茶がつきます」

 「AまたはB」を「A∨B」や「A∪B」で考えると、Aのみ成立、Bのみ成立、AとBの両方が成立のすべての場合がOKですが、そうでない“または”もあります。

 たとえば喫茶店で「ランチには、コーヒーまたは紅茶がつきます」と言われ、コーヒーと紅茶のどちらか一方しかつけてもらえないのならば、この場合の“または”は「どちらか一方のみ」の意味になります。

 このような“または”を「排反的選言(排他的選言)」というそうです。なお、ランチのコーヒー紅茶の話は野矢茂樹『論理学』に書いてあって、登場人物の一人である道元が「非論理的な喫茶店だな.」と言っていて可笑しいのですが、この本の中では排反的選言に▽の記号が当てられ、公認されている記号ではないと断った上で、あらたな真理関数が定義されています。

 さて、ブールは、「そして(かつ)」に×、「あるいは(または)」に+の演算をあてて論理の計算を行いましたが、“または”としてこの「排反的選言」を選んだそうなのです。

 だから、1+A は「1∪A」から「1∩A」をのぞいた部分となり、1−A と同じになります(ベン図でいえば四角の中のAの円の外側の領域)。さらに、1+A=1−A から A+A=0 が導けますが、「A∪A」から「A∩A」をのぞくと0なので、辻褄があいます。ということは、ブールが発見していた「指数律」は「・」に対する「ベキ等律」(x・x=x)だけであり、「+」に対しては成り立っていなかったんだな・・・。

 という話を知ったのちに『情報の論理数学入門』を読むと、理解するのが億劫だった「ブール環」に、がぜん興味がわいてきます。テキストでは、次のようにしてブール環の話が始まるのですが((+)は丸付きプラス↓)

 これまでみてきたように、ブール代数は通常の体における代数とはかなり異なった体系であるが、いろいろな点で似ているところもある.実際,ブール代数(B;+,・)において、次のような加法的な演算(+)を定義すると
        def
    x(+)y=( ̄x・y)+(x・ ̄y)  (x,y∈B

代数系(B;(+),・)は単位的可換環となる.
そんなことしたらダメだとはもちろん言わないけれど、「なんでわざわざここで新しい演算を定義して環をつくる必要があるのだろう? いま束を感じ取ろうとしているんだからしばらく環を出さないで欲しい〜」という妙な抵抗感があった私にとって、おおもとのブールの加法が排反的選言であったというエピソードは、ブール環を理解してみたいという気持ちを呼び起こすきっかけになりました。

(つづく)
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論理学の歴史におけるブールの位置どころ

 去年の春から夏にかけて論理学に興味をもち、野矢茂樹『論理学』を途中まで読みつつ、気になった言葉であれこれ検索をかけていました。
 
 その作業をしばらく続けてふとわいた素朴な疑問は、「どうして野矢茂樹『論理学』には“ブール”という言葉(人名)が一度も出てこないのだろう?」ということでした(なお、付論として論理回路の話は出てきます)。なぜかというと、検索中に「ブールの論理代数は命題論理学の原型」という記述を見かけたからです。それならば一言ぐらい出てきてもよさそうなのに・・・。ブールの名前を持ち出すと話が大変になるからなのか、野矢茂樹が『論理学』で語りたいことはブールとあまり関係がないからなのか、あるいは「どうしてブールが出てこないのだろうか?」という疑問の持ち方自体ズレたものなのだろうか。

 そんなこんなで、野矢茂樹『論理学』の前半部分を読み終えるころに別の本が読みたくなって、次の2冊を購入しました。

 1冊は、『情報の論理数学入門』(小倉久和・高濱徹行共著)というテキストです。「ブール代数から述語論理まで」という副題にひかれました。でも、肝心のブール代数がどうもよくわからない。

 もう1冊は、『論理学史』(山下正男著)という本です。論理学の歴史をもっと知りたいと思って買ったのですが、私にとってはやはり読みにくく、結局そのまま本棚にしまいこんでいました。

 あれからさくっと1年あまりが経過し、論理学関係の本からはすっかり遠ざかっていたのですが、最近いくつかの動機が重なって、再び上記2冊の本を手にしています。久しぶりにめくってみたら、なんだか以前よりも面白いのです。特に『論理学史』の前半はブールもたくさん出てくるし、図を使って論理学の歴史をたどっていて、楽しいです。と同時に、あと何冊かは本を読まないと痒いところに手が届かないだろうなぁ〜という感触も得ました。しばらくの間、上記2冊をゆっくり読んでみたいと思います。

(つづく)
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