TETRA'S MATH

数学と数学教育
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4次元のハッセ図

 論理学の幾何学的表現・2の図はとてもきれいでした。このような点対称の図に表すことで、双対原理も感じられたし、群論的構造も感じることができました。

 一方、『情報の論理数学入門』のハッセ図は、直方体(立方体)の見取図のような形をしています。そういえば、アリストテレスの「A命題」をハッセ図にのせるプロセスのいちばん最後でできる図は、少し歪んだ立方体の見取図に見えます。

 たとえば、元が3個である集合{a,b,c}のベキ集合を考え、含む含まれるの関係を立方体見取図的ハッセ図に表すと、次のようになります。



 位相的には点対称の図と同じだと思いますが、このかき方ならではの面白さ、便利さが最近ようやくわかってきました。

 ついでといってはなんですが、それぞれの点に添える記号を変えることにします。含まれていないことを0、含まれていることを1と表すことにして、abcの順で、たとえば{b}はbだけが含まれているので010、{a,c}はaとcが含まれているので101、Φは000、{a,b,c}は111というふうに0と1の組み合わせ3文字で表すことにします。
     


 同じ考え方で、元が4個の場合のハッセ図をかきたいわけですが、このとき最初からかきなおすのではなく、上記の直方体図をコピー&ペーストして、斜め上方にかき加え、対応する頂点どうし線分で結んだあと、もとの直方体の各頂点の数字には末尾に0を加え、新しく重ねた直方体の各頂点の数字には末尾に1を加えます。テキストにそう書いてあるわけではないのですが、私は以上のように理解しました。というか、そういうふうにかくとラクなのです。(なーんて言いながら、線が重ならないようにかくのが意外と難しくて、かきなおしちゃったのですが^^;)



 同じ考え方で、元が1個の集合(ベキ集合2個)、元が2個の集合(ベキ集合4個)、元が3個の集合(ベキ集合8個)の場合を順々に考えていくと、次のようになり、それぞれブール代数のB2、B2^2、B2^3のハッセ図に対応しています。



 テキストに載っているわけではなく、私の勝手な解釈なので、あまり信用しないでください。

 本当にこんな考え方をしていいのかな? どうなんだろう?

(つづく)
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