TETRA'S MATH

数学と数学教育
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論理学の幾何学的表現と双対原理

 束の公理では、+と・が対称な形で現れます。したがって、この公理から得られる結果は、+と・を交換しても同じように成立します。このことを、束における双対原理というそうです。

 論理学の幾何学的表現において、この双対原理は上下の対称として現れています。(∪を+として考える)



 a∪bの∪を∩にかえるとabになるし、 ̄a∪bの∪を∩にかえると ̄abになる・・・という具合です。Iの真下にある点Pの部分とOの真上にある点Qの部分については、どう考えればいいのか最初わからなかったのですが、かっこつきの(∩を使った)式も示してあったので、ここから考えればよいのだと気づきました。点Pも点Qも、下の赤い点からきた矢印の先と考えると「∪」を使って表せるし、上の青い点に向かう矢印の元と考えれば「∩」を使って(  )∩(  )→(  )(  )の形表せるのですね。



 なので、それぞれの式において、∪と∩を入れ換えてあげれば、PとQが対応していることがわかるし、それに図をあわせると、互いに互いの否定であることも目で見てわかります。



 IとOも次のように考えれば、双対になっています。


 なるほど〜

(つづく)
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