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論理学の幾何学的表現

 2つの集合a、bについてのべン図をかいたときにできる4つの領域に、次のように1,2,3,4の番号をつけます。

  

 そして、集合{1,2,3,4}のベキ集合を考え、含む・含まれるの関係をハッセ図に表してみます。(集合を示す{ }は省略)

  

 空集合を黄色、元が1個のものを赤、2個のものを緑、3個のものを青、4個のもの(もとの集合)を黒で表してみました。

 さて、同じ図を、番号ではなくa、bの記号で表すと、次のようになります。∩は省略して、a∩bをabと書いてあります。

  
          
  

 論理学の構造は、つまりはこういう図で表せるらしいのです。(山下正男『論理学史』図4を参考にかき起こしたもの)

 さらに、この図を少し変形することで、とても美しい図ができあがります。その美しさの意味がようやくわかってきたきょうこのごろ。(山下正男『論理学史』の図1をほぼそのままかき起こしたものですが、点の色はこちらでつけました。また、式を一部省略してあります。)

  

 上下の対応や左右の対応も面白いですが、なんといっても点対称の位置に注目したいです。点対称の位置にある2つの要素は互いに否定になっており、つまりこの図においては、否定するということは180度回転することになります。そして、2度否定すると360度回転して、もとの位置(自分自身)にもどります。(どこかできいた話だぞ!)

 これはブール代数の「対合律」、いわゆる二重否定の法則にあたります。

 〔対合律〕

  

 何が感動的って、ド・モルガンの法則がそのまま図に表れていること。

 〔ド・モルガンの法則〕

  

 高校生のころは「否定をバラすかわりに記号をひっくり返せばいいんだな」くらいの意識で丸暗記していたのだと思いますが、こんなにきれいな関係のなかに位置していたのだと知ると、見え方もかわってきます。

 なお、ジェヴォンズはベキ等律や吸収律などの法則を見つけましたが、“対になる法則”という意味では、この「ド・モルガンの法則」はやっぱり見事です。発見したのはド・モルガンだけど、「ド・モルガンの定理」という名前を与えたのはシュレーダーなのだそうです。というわけで、「双対性の原理」を確立したのは、シュレーダーでした。

 ちなみに、山下正男『論理学史』においては、Iの真下の緑の点とOの真上の緑の点に、それぞれ次のような式が示されています。

  
     
 他の部分に比べて本当に互いに否定になっているかどうかがすぐにわかりませんが、ベン図、式変形、真理値表などで確かめることができます。結局のところ真理値表がいちばん便利です。パキパキパキパキやっていけばいいので。



〔2018年3月25日追記〕
 
 分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。
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