TETRA’s MATH

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「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」

 ブール環が本当に環になるかどうかを確かめるべく、まずは排他的論理和(+)(←丸付プラス)の結合律を考えました。ちなみにテキストでは「容易に確かめられる」と書いてあるだけなのです。交換律はともかく、結合律はなんか不安だし。

 (+)についての結合律が成り立つということは、

     

が成り立つということだから、左右をそれぞれ変形して同じ形にすればいいと考えました。なので、(+)のおおもとの定義x(+)y=( ̄x・y)+(x・ ̄y)にもどって、ド・モルガンの法則を駆使しつつ次のように式変形してみたのです。(なお、式変形が正しいかどうかはまったく自信がないので、信用しないでください〜)



 途中の分配律が若干不安ですが、とりあえず上記のようになり、x・y・zが出てきてしまいます。なぜ「しまいます」と思ったかというと、x(+)y(+)zは、xかyかzのどれかひとつ---「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースのどれか1つがつきます」---というイメージをもっていたので、上図左下のようなベン図かかけると思っていたのです。x・y・zが消えてくれないかなぁと思いつつ、とりあえず右辺も変形してみたら、同じになりました。…あれ? x・y・zがあっていいのかな?

 段階的に考えてみると、x(+)y であるか、zであるかのどちらか一方なのだから……

     

 おお。まんなかのx∩y∩zも入るのですか? となると、排反的選言の「または」を採用している喫茶店でランチのドリンクが3種類になれば、すべてのドリンクを頼むという選択肢も出てくるのだろうか…!?

色分けで感じる排他的論理和

(つづく)
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