TETRA’s MATH

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ブール束とブール環の関係

 ブール環が本当に「単位的可換環」なのかどうかを確かめ中です。

(+)についての結合律
 あっているかどうかはわからないけれど、前回の確かめでとりあえずよしとすることにしました。

(+)についての単位元(零元)…x(+)O=xより、O

(+)についての逆元…x(+)x=Oより、x

(+)についての交換律…大丈夫だろう、うん。

 乗法・についてはいじっていないのだから、結合律、単位元、交換律ともに大丈夫そうです。・の(+)に関する分配律も確認しました。ちなみに、(+)の・に関する分配律は成り立たないのかしらん?と思い、式変形とベン図で確かめてみましたが、なるほど成り立たないようでした。

 これでみんなOKかな。

 となると、代数系(B;+,・)と代数系(B;(+),・)では何がちがってくるのだろう…?

 x+(何か)=O にはなれないので、前者は加法についての逆元が存在しません。そのかわりといってはなんですが、x+x=x となり、加法についてもベキ等律が成り立ちます。さらに、+の・に関する分配律も成り立ちます。となると、つくづく「束」というのは、+と・を入れ替えても成り立つ「双対原理」が特徴的なのだなぁと思うことでありました。

 ブール束は分配束なので、分配律が成り立ちます。また、ブール環では乗法の冪等律は成り立ちます。ということは、「環と束」よりも、「ブール環とブール束」は、共通部分が大きくて、ほとんど同じということなのでしょうか?

 ちなみに、『情報の論理数学入門』では、ブール代数=ブール束という書き方はしてありますが、ブール代数=ブール環とは書いてありません。ただ、ブール環をつくるときに新しい加法的演算(+)をブール代数の+、・、 ̄で定義しているので、そうなるとブール環はブール代数のなかに入っているのかな?という気もします。「環」「束」「ブール代数」「ブール束」「ブール環」の包含関係を表すベン図をだれかにかいてほしい気分。

(つづく)

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