TETRA'S MATH

数学と数学教育
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ルジャンドル記号ってなんだ?

 「平方剰余の相互法則」のことを知りたくて、いつものごとく検索を続けていました。だいたいどこでも同じような書き方がしてあるのですが、どうにもよくわからない。

 何がわからないかというと、最初のほうで「ルジャンドル記号」というのが出てくるのですが、分数のようなものをかっこでくくってイコール +1 または −1 と書いてあるこの表記のどこがどう“記号”なのかがわからなかったのです。

 インターネットだけで勉強をするのは無理そうだという感触を得、テキスト(図書館で借りた「岩波講座 現代数学への入門 数論入門1」)を読むことにしました。

 そしたらあっという間にわかりました。

 要は、平方剰余のときは1と書き、平方非剰余のときは−1と書くのですね。そういうふうに1と−1の場合を別々に日本語で書いてくれればすぐにわかるのにな・・・(^^;

 たとえば、法11で2乗して5となる数をさがしていたとき()、4、7という答えが見つかりました(4^2≡5、7^2≡5 mod 11)。つまり、n^2≡5(mod 11)となる整数nが存在するので、こんなとき、5は法11に関して平方剰余であるといい、記号で

     

と書くらしいのです。

 また、法7においては、2乗して5となる数を見つけることができませんでした。なので、5は法7に対して平方非剰余であるといい、記号で

     

と書くらしいのです。

 一般的な形でまとめると、次のようになります。

 n^2≡a(mod p)となる整数nが存在するとき、aは法pに関して平方剰余であるといい、記号で

     

と表す。また、平方剰余でないとき、aは法pに関して平方非剰余であるといい、記号で

     

と表す。この記号が「ルジャンドル記号」(または平方剰余記号)というものらしいのです。平方剰余と平方非剰余の区別だけなら何も数字をあてはめなくても○と×でいいやん、と思うわけですが、先を読み進めるにつけだんだんとその便利さがわかってきました。
 
 たとえば、1、−1に加え、aとpが互いに素でないとき(aがpの倍数となるとき)

     

と定義すると、次の命題が成り立ちます。

 pを奇素数とするとき、整数aについて合同式

     

の解の個数をNとすると、

     

 なるほど、平方剰余の場合はN=1+1=2(個)、平方非剰余の場合はN=1−1=0(個)、aがpの倍数となるときはN=1+0=1(個)となるわけですね〜〜(aがpの倍数となるときは X≡0 の1個)
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