TETRA'S MATH

数学と数学教育
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カタラン数の母関数と一般項(2)

 となると、あとは√(1−4x)をべき級数展開して、係数Knをnで表せばよいことになります。べき級数展開といえばテイラー展開()。√(1−4x)=(1−4x)^(1/2)なので、微分はそれほど大変そうではありませんが、ある程度の目的意識をもたないと一般項まではたどりつけないなぁという感触があります。

 ではまず、K(x)を微分していきます。



 ピンクの−2については、あとで Cn=−1/2Kn+1に代入したときに−1/2を消すために、残しておきます。

 緑の部分はx=0を代入したときに1になります。

 となると、青い下線部分をどうするか、というのが考えどころになりそうです。これがうまいことまとまるからほんとに不思議。



 テイラー展開()したときの係数の分母にはn!があるので、Kn+1はどうなるかというと、



 これを係数比較で求めた()Cn=−1/2Kn+1という関係式に代入すると、



 というわけで、ミルカさんの求めた一般項()と一致しました。

 うーん、話ができすぎているっ

 こうなってほしいという想いのあまり、どこかで計算のズルをしていないだろうか私…
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