TETRA'S MATH

数学と数学教育
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カタラン数の母関数と一般項

 カタラン数の母関数の閉じた式は次のような形になることがわかりました。

  

 この式をべき級数展開したいという単純な希望があったとする()と、まずやりたくなるのはx=0を代入することですが、分母が0になってしまうのでできません。そこで、両辺に2xをかけて分母をはらってみます。

  

 この形にx=0を代入すると、左辺は0、右辺は+ならば2で、−ならば0です。だから−なのだ……と結論するのは乱暴だとは思いますが、少なくとも+で考えるのは無理があります。(ミルカさんは「不毛」という言葉を使っていました。なるほど、不毛といえばいいのか)

 というわけで、カタラン数の母関数の閉じた式を−のほうで考えていくことにします。

  

 このままで扱うのは大変なので、ルートの部分をひとつの関数として捉え、その関数をべき級数展開したときの係数の数列を<Kn>とします。

  

 つまり、K(x)=√(1−4x)とすると、カタラン数の母関数の閉じた式は次のように表せることになります。

  

 分母をはらって、

  

 具体的に級数の形で書いてみると、



 左辺の2xをC(x)のそれぞれの項にかけて、右辺のかっこをはずすと



 左辺と右辺で係数比較をします。



   数の項   0=1−K0
   xの項    2C0=−K1
   x^2の項   2C1=−K2
   x^3の項   2C2=−K3
       ・
       ・
       ・

 なるほど〜〜 

 ということは、CnはKnで表せるのだ!

  

 したがって、Knを求めれば、それをもとにCnも求まることがわかりました。

 となると、あとは√(1−4x)をべき級数展開して、係数Knをnで表せばよいことになります。べき級数展開といえばテイラー展開()。√(1−4x)=(1−4x)^(1/2)なので、微分はそれほど大変そうではありませんが、ある程度の目的意識をもたないと一般項まではたどりつけないなぁという感触があります。

 ではまず、K(x)を微分していきます。

  

 ピンクの−2については、あとで Cn=−1/2Kn+1に代入したときに−1/2を消すために、残しておきます。

 緑の部分はx=0を代入したときに1になります。

 となると、青い下線部分をどうするか、というのが考えどころになりそうです。これがうまいことまとまるからほんとに不思議。

  

 テイラー展開()したときの係数の分母にはn!があるので、Kn+1はどうなるかというと、

  

 これを係数比較で求めた()Cn=−1/2Kn+1という関係式に代入すると、

  

 というわけで、ミルカさんの求めた一般項()と一致しました。

 うーん、話ができすぎているっ

 こうなってほしいという想いのあまり、どこかで計算のズルをしていないだろうか私…



〔2018年3月25日追記〕

 分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。
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