TETRA'S MATH

数学と数学教育
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カタラン数の母関数

 カタラン数の第(n+1)項の形がわかりました。





 次は、カタラン数の母関数を考えます。



 ,留κ佞鬚澆討澆襪函▲タラン数の積で構成されていることがわかります。そこで、カタラン数の積をつくるべく、△領省佞2乗してみます。




 この計算によって、x^nの係数がどうなるのかを考えたいのですが、例としてx^5の係数に注目すると……



 x^5の係数はC6と同じになってくれます。ありがとう〜〜



 同様に、x^4の係数はC5と同じになってくれるし、x^6の係数はC7と同じになってくれます。つまり、x^nの係数はCn+1になります。

 さらに、数の項はC0×C0=1×1=1なので、は次のように書き換えることができます。




 Cの添え字とxの次数が1つずつずれているので、い領省佞xをかけてそろえると……




 ァ櫚,魴彁擦垢襪函帖



 ΔC(x)についての2次方程式とみなせば、解の公式によりC(x)がxの式で表されます。



って、なんだかあたりまえのように書いてきましたが、どうしてこんなにきれいにまとまるのだろう!? 

(つづく)
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