TETRA'S MATH

数学と数学教育
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テイラー展開と微分

 いま私には、ある関数f(x)をべき級数の形で表したい、というシンプルな希望があります。それはつまり、



のa0、a1、a2、a3、a4、a5、…を求めたい、と言い換えることができます。

 そこで、まずはこの式にx=0を代入してみます。そうすると、xが関わる式は全部消えるので、f(0)=a0であることがわかります。



 なるほど、xがついていない定数項はx=0を代入したときに右辺に残ってくれる。そこで今度は、f(x)を微分してa1のxをなくし、x=0を代入してa1だけを残してみます。



 同じように作業を続けていくと……



 したがって、f(x)は次のように表せることがわかります。



 テイラー展開・02を書いたころには、面倒だなぁと思えたこの式も、いまとなってはとても納得がいきます。

 以上のことを私は結城浩『数学ガール』で納得したのですが、実はほぼ同じ説明が数学靴龍飢塀顱陛豕書籍/平成11年発行)のp85に載っていることに最近気がつきました。微分の章末で「発展・展望 導関数と多項式」というふうに付け加えられています。

 なお、上記の計算はテイラー展開でa=0とした場合なので、より正確にはマクローリン展開とよぶべきものなのかもしれません。

 教科書ではテイラー展開という言葉は出されておらず、「xについてのn次の整式f(x)をx−aについての整式・・・(略)・・・の形に書き直すことを考えよう」というふうに話が始まり、eの近似値を求める問題で終わっています。

 納得したいまだから、「ほぼ同じ内容」と思えるんだろうな。

(つづく)
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