TETRA'S MATH

数学と数学教育
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カタラン数のねんど玉

 フィボナッチ数からはなれて、今度はカタラン数です。

 結城浩『数学ガール』の「第7章 コンボリューション」では、カタラン数が扱われています。(ほぼ同じ内容を、Web上でも読むことができます。>ミルカさんとコンボリューション

 この第7章は、他の章に比べて冒頭部分がちょっとわかりにくいかな…という印象をもちました。「僕」もつっこんでいるように、村木先生の問題の出し方がすっきりしていないのです。でも、あとのことを考えると、適切な問題設定かもしれません。

 カタラン数の問題の出し方にはいろいろなものがあるようですが、『数学ガール』ではかっこのつけかたの問題として出てきます。たとえば 

 0+1+2+3=(0+(1+(2+3)))
         =(0+((1+2)+3))
         =((0+1)+(2+3))
         =((0+(1+2))+3)
         =(((0+1)+2)+3))
           3なら5通り(C3=5)。

というふうに。私はかっこをつけることを「ねんど玉をくっつける」イメージで考えました。

   

 0、1、2、3、4と書かれたねんど玉があるとします。まず0と1をくっつけて赤いねんど玉にします。次に、赤と2をくっつけて黄色のねんど玉にします。さらに、3と4をくっつけて緑のねんど玉にしたあと、最後に黄色と緑のねんど玉をあわせて青いねんど玉にします。

   

 別のくっつけかたを考えてみます。最初に1と2をくっつけて赤いねんど玉にします。次に、3と4をくっつけて黄色のねんど玉にします。さらに、赤と黄色をくっつけて緑のねんど玉にしたあと、最後に0と緑のねんど玉をくっつけて青いねんど玉にします。

   

 この場合、3と4の黄色のねんど玉を最初につくる方法もありますが、できあがった形が同じであれば1通りとして考えます。

 というようなねんど玉のくっつけかた(かっこのつけかた)が何通りあるかというと、5個のねんど玉(最大の数字が4)の場合は14通りとなります。(C4=14)

(つづく)
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