TETRA'S MATH

数学と数学教育
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モンティ・ホール問題・01

 私的数学塾さんのベイズの定理のページには、「3つの箱の中から当たりをさがすクイズ」の問題も載っていました。同じような問題を過去にもきいたことがあるので、これは転載ではなく、記憶を頼りに扉バージョンで再現してみます。

 3つの扉のどれか1つに豪華賞品が隠されている。解答者はまずその中の1つを選ぶ。次に、答えを知っている司会者が、残りの2つのうち賞品が隠されていない扉を1つあける。この時点で、解答者は扉を変更するチャンスが与えられるが、扉を変更するのと変更しないのとでは、どちらが賞品のある扉を当てる確率が高くなるか。

 たぶん有名な問題なんだろうとは思っていましたが、「モンティ・ホール問題」あるいは「モンティ・ホールのジレンマ」という名前がついていることを最近知りました。Monty Hall さんがホストを勤めるアメリカのゲームショー「Let's make a deal」に由来する問題なので、こう呼ばれているようです。

 さて、「モンティ・ホール」で検索をかけると、実に様々、いろんなページがひっかかってきます。みなさん手をかえ品をかえ言葉を尽くし、「扉を変更したほうが当たる確率が高くなる」ことを説明してくれています。

 私自身、どうするかと考えてみたとき、もしこの問題のことを知らなかったら、扉を変更しないだろうと思います(あるいは、司会者の微妙な表情などを読み取ろうとするかもしれない)。なぜかというと、変更せずにはずれたらあきらめがつくけれど、変更してはずれたらとても悔しいような気がするからです(負けず嫌いなのか!?)。最初の自分の勘を信じたい、という発想かもしれません。

 だけど、この問題のことを知ったいまとなっては、確かに変更したほうがよさそうだと納得したので、きっと変更すると思います。納得したというのは、感覚的に納得したということで、理論的にはまだぼんやりしています。感覚的に納得しやすくするためには、司会者の立場にたって何度かシミュレーションをしてみるのがいちばんだと思いました。

 解答者が最初に当たりの扉を選ぶ確率は 1/3 ですが、この場合は司会者は残りの2つのどちらを開けるのか自分で決めなければなりません。だけど、解答者がはずれの扉を選んでくれれば、あとは自動的に開ける扉が決まってきます。そして、はずれの扉を開く確率は当たりの扉を開く確率の2倍なので、どちらの扉を開けるのか自分で決める場合よりも、自動的に開ける扉が決まる場合のほうがだいぶ多いという感覚が得られます。自動的に開ける扉が決まる場合というのは、残りの1つが当たっている場合なので、解答者は扉を変更したほうがいいということが感覚的に納得できます。

 で、この問題に対して「理論的な矛盾は指摘できないが、感覚的に納得できない」という人もいるでしょうし、「感覚的には納得できるが理論的に説明されるとだまされた気がしてくる」あるいは「説明できない」という人もいるのではないかと思います。私は後者です。

 たとえばこんな説明があったとします。解答者が最初に当てる確率は 1/3 だから、「扉を変更せずに当てる確率」は 1/3 であり、最初にはずれる確率は 2/3 だから、「扉を変更して当てる確率」は 2/3 である。とてもシンプルで納得しやすいようにも思えるのですが、なんとなぁく「ちょっとまてよ」という気持ちになってしまうのです。

 それから、問題の形を変えての解説もいろいろあるようです。扉を10個にしてみる、あるいは100個にしてみるとか、「三囚人問題」をはじめとして同じ構造をもつ他の問題に置き換えて考えてみるとか。これはこれで問題の核心部分を浮き彫りにするためにはいい方法だろうと思うのですが、できればまずは「モンティ・ホール問題」そのものをダイレクトに理解する努力をしてみたいです。

 というわけで、あれこれ考えてみることにしました。

(つづく)

 

〔2018年2月12日メモ:モンティ・ホール問題の続きの記事は削除しました。このエントリは連絡用として残しています。〕

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