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数学と数学教育
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ベイズの定理・02

 「ベイズの定理・01」で示した次の問題↓

「5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にA、B、C3軒を順に年始回りをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。2軒目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。」

を、もしベイズの定理を知らなかったらどう解いていたろう?と考えてみるものの、いったん1つの解き方を知ってしまうとなかなかまっさらな状態にはもどれないもので、何を考えても後付になってしまいそうなんですが、あえてこじつけるならば、

 「帽子を忘れた」ことは確定したので、
 「帽子を忘れる」確率が「1」に変わり、
 それに対する「家Bで忘れた」確率を求めることから、
 「家Bで忘れた確率」÷「帽子を忘れる確率」
 という計算をする…

と考えるとなんとなく納得できるような気もしてきます。帽子を忘れないという可能性がなくなってしまったことにより、「家Bで帽子を忘れる確率」は高くなり、そして家A・B・Cで忘れる確率の比率は変わらない、ということも、感覚的に納得できます。

 <年始回りに行く前>

     家Aで忘れる確率・・・20%
     家Bで忘れる確率・・・16%
     家Cで忘れる確率・・・12.8%
     忘れない確率・・・51.2%

 <年始回りに行った後>・・・帽子を忘れたことが確定

     家Aで忘れた確率・・・約41%
     家Bで忘れた確率・・・約32.8%
     家Cで忘れた確率・・・約26.2%
 
 なお、ベイズの定理においては、年始回りに行く前の「家Bで忘れる確率」のことを事前確率、年始回りに行った後、帽子を忘れたことが確定した上での「家Bで忘れた確率」のことを事後確率というそうです。

(つづく)

〔2017年11月27日追記〕内容の一部を変更しました。

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