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ベイズの定理・01

 マルコフ連鎖モンテカルロ法(MCMC)を経由して、ベイズの定理に興味をもちました。

 ベイズの定理というのは、記号で表すと、次のようになるそうです。
 
 「Aが起こったあと、Bが起こる確率」をP(B|A)とすると、

     

 最初に面白いと思ったのは、私的数学塾さんのベイズの定理のページにのっている「早稲田大学の入試問題」です。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/probability/bayes.htm

「5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にA、B、C3軒を順に年始回りをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。2軒目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。」
「帽子を忘れたこと」に現在気づき、その原因となる過去の事実「Bで忘れたこと」の確率を問うもので、当時は、とてもセンセーショナルな問題であった。

 もしこれが、年始回りの前で「家Bに帽子を忘れる確率を求めよ」であれば、Aで忘れずにBで忘れる確率ということで、4/5 × 1/5 =4/25 とすればよいのでしょう。

 でも、この問題においては、すでに年始回りは終わっており、そして帽子を忘れてきたという事実があります。そのうえで家Bに忘れてきた確率を求めなくてはなりません。

 まず、家A、B、Cのどこかで帽子を忘れる確率を求めると、

   

となります。あるいは、次のように求めてもいいでしょうか。

   

 よって、帽子を忘れる事象をEで表すと、P(E)、P(E∩B)は次のようになります。

   

 いま求めなければいけないのは、帽子を忘れた(E)ことが起こったうえでの、家Bで忘れた(B)確率なので、ベイズの定理にあてはめると、次のように答えが求まるらしいのです。

   

(つづく)

〔2017年11月27日追記〕記事の内容を一部変更しました
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