TETRA’s MATH

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単振動と微分方程式

 『なるほど量子力学(1)』のAmazonのレビューに、「フックの法則から始まっているのはとても素朴なものを感じました」といったようなことが書いてあります。ということは、量子力学の導入の仕方としてはめずらしいのかな?

 「フックの法則ってきいたことあるけどなんだっけ?」(言葉自体は本には載っていない)と思って調べてみたら、バネなどの復元力の法則でした。『なるほど量子力学(1)』においては、最初の「オイラーの公式」に少し出てきたあと、「第4章 電子の運動−古典力学からのアプローチ」がこの「復元力」の話、バネの単振動の話から始まっています。

 というわけで、単振動の微分方程式について考えてみることにしました。古典力学においては、物体の運度はニュートンの運動方程式 (力)=(質量)×(加速度) に支配されるわけで、記号で書くと

  

となるわけですが、バネにつながれた振り子の単振動においては、バネ定数をkとすると

  

という復元力がはたらくので、

  

という式ができます。変形して、

  

 これは「定係数の2階1次線形微分方程式」というものになっているらしいです。一般的な形は          
     
  

でしょうか。

 微分方程式にはいろいろあり、解き方もいろいろあるんでしょうが、

  ・・・(1)

 この形の微分方程式は

  ・・・(2)

という解を仮定することで解けるらしいのです。e^x は微分しても自分にもどるので便利なんだけど、そのことと関係しているんでしょうか?

  

 (2)の解を(1)に代入すると、
     
  

 けっきょくこれは e^λt の部分をとって、

  

というλについての2次方程式を解くことで解が求まるらしいのです。(こういう方程式を特性方程式というそうです。)

 単振動の微分方程式

  

についても同じように考えると、

  

というλについての2次方程式を解けばよいので、

    

 わからないのはこのあとです。上記のλの値から(1)の微分方程式の一般解は

  

となるらしいのですが、なぜなんだろう?

 意味がわからない前に、指数の見た目が大きくなりすぎてeがおしつぶされそうなので、eの累乗を表す exp という表記の仕方を取り入れることにします。

   

 exp はこれまでもよく見かけていたのですが、新しい記号に対する拒否反応が強い私は「これは便利だ」と思えるまで、なかなか受け入れられずにいたのでした。なるほどこれは便利だ。exp というのは指数関数(exponential function)の略のようです。 

 単振動の微分方程式について、これまでの流れをまとめると、

  

 そしてこれからしたいことは、最後の一般解がなぜ上記のような形になるかよくわからないので、せめて次の5つの解



が、すべてもとの微分方程式の解になっていることを確かめたい、ということです。

 式を簡略化するためにx1と同じ部分を☆、x2と同じ部分★と表すことにします。
(1行目の dt^2 の2が抜けていました↓)

  

 確かに成り立ちました。

 さて、単振動の微分方程式から得られた一般解は指数関数の形をしていますが、オイラーの公式を使うと三角関数の形に表せます。

  

 微分方程式において一般解が複素数のときには、実部と虚部が特殊解になるのだそうです。

  

 そこで、これらも解になっているか調べたいのですが、

  (cosθ)''=(−sinθ)'=−cosθ
  (sinθ)''=(cosθ)'=−sinθ

となることからオッケーの予感です。実際、そうなりました。(ほかにも解の形はあるようです。)

 なぜ三角関数に出てきてもらったかというと、円運動を考えやすくするためなのですが、けっきょく単振動の話から始まったのは電子の円運動を考えるためだったようです(たぶん)。

 原点を中心とする円の円周上を(等速)で動く点について、たとえばy座標だけに注目して時間に沿ってy座標の動きをみていくと、上にいったり下にいったりしてある幅のあいだをいったりきたりする波になるので、円運動は単振動におきかえて考えることができます。

 角速度をωとして、時間をt、円の半径をAとすると、運動している点の座標は(Acosωt、Asinωt)と表せるから、上記の微分方程式の答えと照らし合わせると、

  

が成り立ちそうです。さらに、この平面を複素数平面とみなすと点には1つの複素数z=A(cosωt+isinωt)が対応するから、オイラーの公式により A exp(iωt)となり、これはいちばん最初に求めた単振動の微分方程式の特殊解と同じ形をしています。

 なんだかすごくあたりまえのことを、オイラーの公式をトンネルとしていったりきたりしているだけの気もするのですが、式変形をしているだけなら納得できても、図にもどって具体的に考えようとすると「あれ?」となるのでした。

 そもそもxは変位であり、長さではなかったか。三角関数の形をした解は、点から座標軸にひいた線の長さとして表されるので納得できますが、複素数の形をしている場合は、1つの複素数として表されていてそのままイコール大きさではないので、ちょっと不思議な感じがするのでした。



〔2018年3月24日/複数に分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。〕
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