バーゼル問題
1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋…… は収束
1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋…… は発散
では次の無限級数はどうなるのか？
加えていく分数が、公比1/2の等比級数の場合よりもどんどん小さくなっていくので、収束しそうです。では、その値は？
というのが「バーゼル問題」とよばれるものなんだそうです。なぜこの名前がついたのかというと、バーゼル大学教授だったヤコブ・ベルヌーイが数学の世界に広く知らしめたからなんだそうです（参考ページ）。
これも収束がおそいらしく、最初の数項ではほとんど意味がなさそうですが、とりあえず計算してみます。
（やっぱり意味がありませんでした。1.644あたりに収束することになっているのですが……）
で、これを解いたのが、オイラー。
収束値は
なんだそうです。これはちょっと驚きです。パイを2乗するなんて反則だ〜と言いたい気持ちもなきにしもあらずですが、それよりも何よりも求めちゃったのがすごいし、パイが出てくるのがすごいです。（パイをカタカナで書くことに意味はないのですが、このフォントだとホッチキスの針のようになってしまうので…。こんな感じなのです。→π）
少し話はかわりますが、無限級数のことを考えるようになって「そういえば高校数学ではどんな無限級数をやっているのだろう？」と手元の数学�靴龍飢塀颪鮓�たりなんかしていたのですが、自分が高校時代に使っていた問題集をのぞいてみたら、バーゼル級数（という名前は出ていないけれど）が例題に載っていました。
「（改訂版）チャート式 基礎からの数学�掘廖平�研出版・昭和58年）p37より。
ここでは、部分和の極限を考えて、問題で示された定理と「はさみうちの原理」を使って収束を示す例題となっており、最後のほうで「このページの方法では、収束するとわかっても和Ｓを求めることはできない。」とコメントされています。なお、こちらのページではベルヌーイによる収束の証明が示されています。
オイラーはそのほかにも、下記のようにパイにかかわる級数展開式をたくさん発見しているそうです。
そうして話はゼータ関数へとうつっていくのでした。
[参考ページ]
Ikuro's Home Page ＞オイラーとゼータ関数
↑
当然いきつく“ふるさとサイト”（＊）
★★★ バーゼル問題に興味のある方は、結城浩『数学ガール』を読みながら考えた一連のことも読んでいただけるとうれしいです ★★★
1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋…… は発散
では次の無限級数はどうなるのか？
加えていく分数が、公比1/2の等比級数の場合よりもどんどん小さくなっていくので、収束しそうです。では、その値は？
というのが「バーゼル問題」とよばれるものなんだそうです。なぜこの名前がついたのかというと、バーゼル大学教授だったヤコブ・ベルヌーイが数学の世界に広く知らしめたからなんだそうです（参考ページ）。
これも収束がおそいらしく、最初の数項ではほとんど意味がなさそうですが、とりあえず計算してみます。
（やっぱり意味がありませんでした。1.644あたりに収束することになっているのですが……）
で、これを解いたのが、オイラー。
収束値は
なんだそうです。これはちょっと驚きです。パイを2乗するなんて反則だ〜と言いたい気持ちもなきにしもあらずですが、それよりも何よりも求めちゃったのがすごいし、パイが出てくるのがすごいです。（パイをカタカナで書くことに意味はないのですが、このフォントだとホッチキスの針のようになってしまうので…。こんな感じなのです。→π）
少し話はかわりますが、無限級数のことを考えるようになって「そういえば高校数学ではどんな無限級数をやっているのだろう？」と手元の数学�靴龍飢塀颪鮓�たりなんかしていたのですが、自分が高校時代に使っていた問題集をのぞいてみたら、バーゼル級数（という名前は出ていないけれど）が例題に載っていました。
「（改訂版）チャート式 基礎からの数学�掘廖平�研出版・昭和58年）p37より。
〔例題〕 単調に増加する数列で、各項が一定の数kを超えないときは、この数列は収束する（定理）．この定理を用いて、無限級数
は収束することを示せ。
ここでは、部分和の極限を考えて、問題で示された定理と「はさみうちの原理」を使って収束を示す例題となっており、最後のほうで「このページの方法では、収束するとわかっても和Ｓを求めることはできない。」とコメントされています。なお、こちらのページではベルヌーイによる収束の証明が示されています。
オイラーはそのほかにも、下記のようにパイにかかわる級数展開式をたくさん発見しているそうです。
そうして話はゼータ関数へとうつっていくのでした。
[参考ページ]
Ikuro's Home Page ＞オイラーとゼータ関数
↑
当然いきつく“ふるさとサイト”（＊）
★★★ バーゼル問題に興味のある方は、結城浩『数学ガール』を読みながら考えた一連のことも読んでいただけるとうれしいです ★★★