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圏論「hom関手」再び、ついでに反変関手も

 あいかわらず随伴関係の本式の定義には歯が立ちそうにない。

 hom関手についてもう少し理解しておくと何かいいことがあるような気もするので、ちょっと見ておくことにした。

 米田の補題をのぞいたときにさわりだけ見たので、今回はもう少しだけ突っ込んでみる。『圏論の道案内』(西郷・能美)を参考文献として、自分の理解の流れと表現で書いていく。

 対象XからYへの射の集まりをHomC(X,Y)と書くわけだけれど、圏の定義ではこの集まりが集合であることを仮定しないので、対象X、Yを選ぶごとにHomC(X、Y)が集合であるような扱いやすい圏のことを局所的に小さな(locally small)圏と呼ぶのだった。ちなみに、圏の射全体の集まりを集合として扱える場合には小さな(small)圏というらしい。

 局所的に小さな圏Cにおいて、対象Aを固定すると、Cの対象Xをとるごとに射の集合HomC(A,X)が定まる。これは集合だから、圏Cの対象XからSetの対象HomC(A,X)への対応が得られる。

図1


 対象の対応が得られたので、あとは射の対応が得られれば、この対応は関手になる。射の対応については合成を考える。X→Yの射をfとし、A→Xの射のひとつをαとすると、faはAからYへの射となる。

図2


 つまり、「fと合成する」ことは、集合HomC(A,X)から集合HomC(A,Y)への写像となる。αに対してはfαを対応させるようなHomC(A,X)からHomC(A,Y)への集合間の写像をfに対応させることにすれば、関手ができる。

 と書いてはみたものの、この写像についてはまだぼんやりとしか理解できていない。

 とにもかくにも、このような関手のことを、hom関手(home functor)と呼ぶことが多いらしい。米田の補題のところでも図を描いたけれど、本に載っているものに近い形で描くと、次のようになる。

図3


 以前は、HomC(A,f)に対して、「Aからfへの射の集まりって何?」と思ったものだったが、Aを固定したときにfがhom関手によってうつされた先として、X、Yと同じようにHomC(A,□)の□にfを入れたと考えれば、とりあえず納得できる。ただし、そうとらえていいかどうかはわからない。

 そして、HomC(〇,△)の〇のほうではなく△を固定した場合はどうなるのかについても今回は考えておきたい。つまり、対象Bを固定して、HomC(X,B)を対応させるような関手について。

 この場合は X→Y と X→B が合成できないので、YからBへの射をβとして考えることになる。

図4


 先に結論をいうと、反変関手を使うことになるので、まずは反変関手と双対圏をおさえておく。双対圏というのは、元の圏と同じ対象と射の集まりからなり、矢印の向きだけを反転させた圏(射の始域と終域、合成の順序を入れ換えた圏)のことで、opposite の op を圏の記号の右肩につけて表す(文中では圏Cに対してC^opの表記で示すことにする)。

 そして、双対圏からの関手を、元の圏からの反変関手と呼ぶ。反変関手との対比から、通常の関手のことを共変関手と呼ぶこともある。

 これらの用語もC^opもよく見かけるので、この機会に触れることができてよかった。

 話をhom関手にもどすと、対象Bを固定してHomC(X,B)を対応させる場合については、YからBへの射βとfの合成を考える。

 射fのうつり先はHomC(Y, B)からHomC(X,B)への写像となり、向きが反転しているので、この対応は反変関手になる。下の図は本には載っていなくて、自分の理解で描いたもの。

図5


 と、書いてみたはいいものの、いまひとつわかっていない。βに対してβfを対応させる写像だから反転するのかな?と思っているけれど、そういうことなんだろうか。

 なお、hom関手の記号は、HomC(A,−)場合は小さなAをhの右下につけて示してあり、HomC(−,B)の場合は、小さなBをhの左上につけて示してある。

 ちなみに、hom関手の説明の締めくくりのところで、“いわば「その対象にとっての世界」という関手”と書いてある。スライス圏、コスライス圏を彷彿とさせる話だな、と思った。>「ダダ漏れの世界」とオートポイエーシス
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