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圏論「自然同型・自然同値」、装備散乱中

 随伴関係について、『圏論による論理学』(清水)の略式な定義を見たあと、『圏論による道案内』(西郷・能美)の定義をのぞくだけのぞいてみて、すっかり迷子になってしまった。

 でも、ここまできたので『圏論による論理学』の本式のほうの定義も見ておきたい。

 そして私は思った。

 着の身着のままで出かける散歩も楽しいけれど、随伴関係への道のりは散歩ではなく旅であり、しかも登山レベルかもしれなくて、ある程度の装備は必要なのだ、と(ちなみにリアル登山はやったことがない)。

 もともと、『圏論による論理学』の本式の随伴関係の定義を理解するためには「自然同型」の理解が必要だということはわかっていた。が、確認すればすむという話でもなさそうだということもわかった。

 で、装備を点検・整備しているところなのだけれど、その結果、「同値」と「同型」のロープがこんがらがって、他の道具もこんがらがってえらいことになっている。

 何はともあれ、まずは『圏論の道案内』の自然変換の定義にもどろう。

 自然変換というのは、関手から関手への矢印であるわけだけれど、矢印になるためには以下の条件が必要となる。以下、CDを圏、F、Gを関手、自然変換を t とする。なお、本とは書き方を少しだけ変えてある(射の矢印の上に記号がのせられないという事情のため)。

● t はCの各対象Xに対して射tX:F(X)―→G(X)を対応させる。

● 圏Cの任意の対象X、Yおよび任意の射f:X―→Y に対して G(f) tX = tYF(f)が成り立つ。

 「tX を t のX成分と呼ぶ」ということも書いてある。

 要は、自然変換tというのは、F(X)からG(X)へのDの射tXたちを束ねたもので、次の四角形を可換にするものだ、と。

図1


 このあと、有向グラフの話を経て、関手圏の定義へと入っていく。関手圏は、圏Cから圏Dへの関手を対象とし、それらの間の自然変換を射とする。その射の合成、つまり自然変換の合成 t t´が、(t t´)X= tXX であるようなものとして定めてある。自然変換の合成のほうは、射の合成と区別するため「何も書かずに隣に書く」という形で表すとして。tt´が実際に自然変換であることも確認してある。単位律、結合律も。

 そして、自然同値。

 『圏論の道案内』では、関手圏の射として同型射であるような自然変換を自然同値(natural equivalence)と呼ぶとしている。また関手圏の対象として同型であるような関手を自然同値であるということも書いてある。

 同型射(isomorphism)というのは可逆な射のことであり、可逆というのは、対象AからBへの射fでいえば、BからAへの射gで gf = 1A かつ fg = 1B をみたすものが存在すること。

 したがって、自然同値というのは、可逆な自然変換ということになる。気をつけなければいけないのは、かといって「F(X)のかたちをした対象たちの全体」と「G(X)のかたちをした対象たちの全体」とのあいだに一対一対応があるわけではない、ということ。

 というわけで、『圏論の道案内』での「同型射」「自然変換」「自然同値」を確認した。ちなみに「自然同型」は見当たらない。

 一方、『圏論による論理学』では、「自然同型」(natural isomorphism)の定義は、以下のような内容のものになっている(「矢」は「射」に変えて、表記できない記号は言葉で表している)。

 BCを各々圏とし、F、Gを各々BからCへの関手とし、さらにτ:F→GをFからGへの自然変換とする。その上で、Bの任意の対象A(∈ob(B))について、τA:F(A)→G(A)がCにおける射としてisoであるとき、τは「自然同型」と呼ばれ、記号τ:F(=の上に〜をのせた記号)Gで表される、と。

 iso(アイソ)という用語の響きがいまとなっては懐かしい。iso というのは、つまりは『圏論の道案内』における同型射(isomorphism)と同じであると、定義から判断してよさそう。

 さらに、注意書きで「同値」(equivalence)に言及してあり、自然同型を使うと圏の間の同値の概念が定義できること、BCとの同型とは異なる関係であること、同型であれば同値といえるが、その逆は一般には成立しないことについて書かれてある。(※)

 なお、『圏論による論理学』に「自然同値」という言葉は見当たらない。

 再び『圏論の道案内』にもどると、こちらでは「自然同値」とは別に「圏同値」というものが以下のように定義されている。圏Cから圏Dへの関手FおよびDからCへの関手Gで、関手圏の対象として

図2


なるものが存在するとき、CDは圏同値(categorically equivalent)であるという、と。

 上記の「=の上に〜がのった記号」が「=」となるとき、圏の同型となるのだと思う(圏の同型は、『圏論による論理学』にも出てくる)。
圏の圏における“同型”は、圏の間の同じさとして強すぎるが、自然同値の概念を用いて定義される“ 圏同値”はより柔軟で有用である。
(『圏論の道案内』Kindleの位置No.1754-1755/第4章2節)

 これが、上記(※)の後半部分の内容と対応しているのではなかろうか。

 で、何が混乱しているかというと、まずは「同型」と「同値」の違いとその意味、そして、それが対象の話なのか射の話なのか圏の話なのか関手の話なのか自然変換の話なのかなんなのかよくわからなくて、こんがらがっているのだった。
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