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圏論「三角等式」へ向けて、もはや旅

 圏論に出てくる随伴関係について、その雰囲気だけでも感じるところまでなんとか行けないかチャレンジしている。今回は『圏論の道案内』(西郷・能美)に出てくる「三角等式」に向けてのプロセスの一部をみていくことにする。初めて聞く用語だった。なお、いつものように自分の理解の流れと表現で書いていく。

 冪関手の最後で、恒等関手への自然変換について確認した。では、この双対はどうなるのか、と話が展開されていく。Xでいえば、積関手でA×Xにしたあと、冪関手で(A×X)^Aにうつそうとするもの、つまり、X→(A×X)^Aについて。

図1


 対象から冪の形への射となっているので、積と冪の関係が使えそう。個人的には、冪の右肩の記号と、積の片方の記号が行き来するような感じでイメージしている。したがって、X→(A×X)^Aは、A×X → A×X をカリー化したものだといえる。

図2


 そこで、A×X → A×X の恒等射、つまり1A×Xをカリー化したものを、ηXとする(何かひっかかるけど、ひとまず先に進む)。

図3


 そうすると、いま目指しているのは次の図の可換性ということになる。

図4


 このあとの手がかりは(A×Y)^Aの冪としての普遍性。もう一度、冪の定義として使ってきた図をながめたあと、今回、^gをgとすることになるので、一度書き換えておく。ついでに、『圏論の道案内』にあわせるため、方向や細かい表記も変える。

図5


 A×X→A×Yの射、つまり1A×fをカリー化したものをgとすると、gは次の図を可換にする射となる。

図6


 となると、図4が可換になるためには、Xから(A×Y)^Aへの2通りの行き方(次の図7のア、イ)が、どちらもgになっていなくてはならない。ここから先がややこしいのだ。途中で、何を根拠に何をしているのかがわからなくなってしまう。

図7


 アもイもgに等しくなることを示すということは、gにアやイを入れても図5が成り立つことを示せばいいのだと理解した。

図8


 ということは、まず、1A×ア や 1A×イ の形にしたあと、つまりAとの積をとる関手FAを作用させたあと、εA×Y を合成させたら 1A×f になればいい、ということだろうか。

 本ではアとイに分けて図示されているけれど、まとめて表すと次のようになろうかと思う。

図9


 アについては、ηYのアンカリー化を考えることになっているのだけれど、よくわからないので冪の定義にもどってみた。なるほど確かに、εA×Y(1A×ηY)=1A×Yだ。

図10

 ということは、1A×Y (1A×f)= 1A×f であり、OKということになる。

図11


 と書いてはみるが、何かが気持ちわるい。見た目的には最初から A×X → A×Y だからだろうか。自分が何をやっているのかよくわからなくなってくる。

 もやもやしながら、とりあえずイのほうもがんばると、まずはεの自然性より、 εA×Y (1A×(1A×f)^A) =(1A×f)εA×Xと示されている。ここはもう、次のように考えることしかできなかった。

図12


 この次は、またηxのアンカリー化を考える。

図13


 そうすると、1A×fにもっていくことはできた。

図14


 なんだかすごく、頭がごちゃごちゃ、心がもやもやしているけれど、しばらく間をあけたら見えてくるものもあるかもしれないので、ひとまず先に進もう。

 ふう。

 いや、やりたくてやっているのだが。
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