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圏論「積関手・冪関手」、関手の感触

 『圏論による論理学』(清水)と『圏論の道案内』(西郷・能美)で示されている随伴関係は、見た目がずいぶん違う。もちろん、まったく違うということはないしそうなるわけもないのだけれど、少なくとも私の目にはだいぶ違って見える。

 『圏論による論理学』では、まず略式の定義を示してあり、ぱっと見はそちらがわかりやすい。が、あえて略式の定義が示してあるということは、それだけ正式な定義が難しいということのあらわれだと思うし、実際、正式なほうになるといまのままでは歯が立たない。

 一方、『圏論の道案内』の随伴関係では、積関手、冪関手というものが出てくるので、これについてわかっておくと少し先に進めるかもしれない。それを期待して、まずはこれらの関手について見ておくことにする(なお、本を参考にしつつも、自分の理解の流れと表現で書いていきます、図式も含め)。

 まずは積関手について。をのぞいたときに射の積を知ったので、対象の積のみならず射の積も考えられるようになった。そうなると、「Aとの積をとる」という関手A×( )を定義することができる。

 つまりはこういう感じになる(今回はidAではなく1Aで表記)↓




 積関手があるならば、冪関手も考えることができそう。その場合、対象はいいとしても、射をどうすればいいのかがまだわからない。つまり、次の図の「?」をどうするか。




 いったん冪の定義にもどると、評価射というものがあった。いまはXとYがあるのでそれぞれの評価射をεX、εYとする。




 そうすると、冪の普遍性より、X^AからY^Aへの射uで以下を可換にするものが存在する。




 冪関手( )^Aは f をこの u にうつすものとすればいいことになる。その雰囲気を出すため、uのことをf^Aと表すことにする(これは本でもそう書いてある)。




 そして、積関手をFA、冪関手をGAとして2つ上の図を書き換えると次のようになる。




 つまりはこういうことなのかな?と現時点では理解している。A×X^Aというのは、Xを冪関手でX^Aにうつしたあと、積関手でA×X^Aに移したものとすれば、FAGA(X)と表せる、と。A×Y^Aも射も同様に考えることができる、と。

 さらに、積関手も冪関手も、最終的にできた形が、恒等関手への自然変換になっていることへの言及がある。冪関手について示すと、以下のようになる。




 その意味がまだよくつかめていないのだけれど、次のような雰囲気でいまはとらえている。積の場合はいわゆる「射影」(A←A×B→Bのそれぞれの射)、冪の場合は評価射が、XやYに向かう形になっているから、束ねたとき、何もしない恒等関手への自然変換になりうるのかな?と。

 自然変換までもっていけるのも関手のおかげだと思うし、こういうことを考えていると、以前より関手の手触りがほんの少しだけ感じられるようになってくる気がする。
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