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圏論「転置」、どこへ行きたいか

 圏論の勉強でいま願っていることが2つある。ひとつは、相対擬補元との関係をもう少し具体的に感じたいということ。それから、随伴の雰囲気だけでもなんとかつかめるところまで行けないだろうか、ということ。

 そのためには、とりあえず「転置」をおさえておかなければならない。というわけで、まずは『圏論による論理学』(清水義夫)を参考文献として転置をみていくことにする。

 圏論「冪」、ものと働き図1のなかに、同じ記号gを使って片方だけ^をつけた2つの射があった。いま、gのうえに^がのった記号を^gと表すことにすると、^gはgの「転置」(transpose)と呼ばれるものであるらしい。




 余談だが、上の図ではgを本にあわせてループテールにしてみたのだけれど、やはりこれで書き続けると疲れるので、今回はふつうの手書きのgで書くことにする。それから、圏CのCは、これまで同様、花文字をイメージした我流の字体のCにて。

 gはC×A→Bの射、^gはC→B^Aの射であるわけだけれど、対象A、B、Cを登場人物として、かたや積から対象への射、かたや対象から冪への射となっている。

 この積と冪の関係には、次のような定理があるらしい。




 つまり、「C×A→Bの射の全体と、C→B^Aの射の全体は、全単射」ということになるらしいのだ。同じ記号gを使って片方にだけ^をつけているのだから、何かしらそういう関係のようなものがあるのかな?というニュアンスははじめから感じるが、実際そうであるらしい。

 証明は省略して先に進むと、この関係は次のようにも表される、と話は続く。




 これをふまえて、半順序集合の圏について考えると、任意の二つの要素に対して交わり∧が存在する半順序集合Pについて、AのBに対する擬補元(相対擬補元)と呼ばれる要素A⊃Bが




をみたすものとして定義されることがあり(A、B、CはPの要素)、相対擬補元が定義されている半順序集合の圏Poにおいては、Pの下限がPoの積であることを考え合わせると、上の関係はPoでは




であり、これはまさに(※)に相当しており、Poでの冪B^Aは相対擬補元A⊃Bに他ならない、ということらしいのだ。

 なぜ相対擬補元に興味をもっているかというと、相対擬補元はハイティング代数のなかで出てくるもので、ハイティング代数は直観主義論理と関わりがあると理解しているから。つまり、直観主義論理への興味のひとつとして相対擬補元がある。

 上記のような話の流れを「ふむふむ」と読むことはできても、それがいったいどういう意味を成すのかがわからないでいるのだった。

 次は参考文献を『圏論の道案内』(西郷甲矢人・能美十三)にかえて、転置をさらにみていく。こちらには転置、transposeという名称は見当たらないが、カリー化、アンカリー化の説明がなされている。

 カリー化というのは、「多変数関数」をただ一つの入力をもつ「一変数関数」の連鎖に交換することで、アンカリー化というのはそれを元の射にもどすことであり、『圏論の道案内』では、カリー化は「はたらき」を「もの」へ、アンカリー化は「もの」を「はたらき」へ、と説明してある。

 これがどう転置とかかわるかというと、gと^gでいうならば、gを^gに対応させるのがカリー化、逆の対応づけがアンカリー化ということになるらしい。

 その見方で上記(※)をながめていると、確かにそんなふうになんとなく見えないこともない。それが「多変数関数を一変数関数の連鎖に交換する」ということとどう関わるかはこれだけではよくわからないが、ひとまずこのくらいのことを理解しておけば先に進めそうな感じがする。わからなくなったらまたもどろう。
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