TETRA'S MATH

数学と数学教育
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折れ線と曲率

 遠山啓著作集・数学教育論シリーズ7「幾何教育をどうすすめるか」を読んでいます。1950年代後半から1960年代後半にかけての文章です。

 そんなこんなで、遠山啓は、折れ線・方眼による幾何教育を提案しましたが、折れ線というのは「辺と角」の連鎖なので、モノとしては線分で構成された図形になります。しかし、線分で構成されているわけではない図形、すなわち曲線についても折れ線の幾何は関わってきます。

 つまり、折れ線を無限に細かく分けていくと曲線になるというわけです。そのときの辺と角の表に当たるのは曲率を表わす微分方程式だ、と(p.30)。

 曲線の端から動点まで曲線に沿って測った長さをsとし、その点における接線と定直線とのなす角をθとすれば、曲率は dθ/ds、それを s の関数として表わした式は、dθ/ds=f(s)となり、
これは自然方程式とよばれているが,これは,つまり,方向転換の程度が各点で与えられているのである。これがほぼ折れ線の<辺−角>の表に相当する。
(p.30)

とのこと。

 二つの曲線において、dθ/ds=f(s)という微分方程式の形が一致するとき、その二つの曲線は合同になるのであり、これが曲線の合同定理ともいうべきものだということを遠山啓は書いています。

 こういう話になると、おのずと折れ線と円の関係についても考えたくなりますが、実際、「折れ線と円」という項目もあります。

 上記の話を読んだとき、私は、自分の興味がこれまでとは少し違う雰囲気でつながっていくような感覚を味わいました。図形にはもともと興味があったし、それとは別に内包量にも興味があったわけですが、それらがいままでとは少し違うアプローチで出会った感じというか。微分方程式にはこれまでも触れる機会がありましたが、曲率は新しい出会いでした。

 分数の形をしていて、上にも下にもdがあるというおなじみの記法のなかに、θがあるのが私にとっては新鮮でした。

 なお、かつて、「dx」と「dy」と「dx/dy(ライプニッツの記法)」というエントリを書いたことがあります。

 また、微分方程式については、山口昌哉 『数学がわかるということ』・4/微分方程式のことというエントリなどを書いています。

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