TETRA'S MATH

数学と数学教育
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サブオブジェクト・クラシファイアーの筆順、私の場合。

 突然、話がとびますが、次はサブオブジェクト・クラシファイアーです。何かの技の名前のようなこの概念に、過去、果敢に取り組もうとしたことがありました↓


 圏論:subobject classifier
 http://math.artet.net/?eid=1365964

 subobject classifierとブール代数と「sieve」
 http://math.artet.net/?eid=1366096


 自分のことながら涙ぐましいです。で、『圏論の歩き方』「第17章 圏論のつまづき方」に、可換図式の「筆順」の話が載っていることを以前書きました↓


 『圏論の歩き方』いきなり第17章/可換図式の「筆順」
 http://math.artet.net/?eid=1422209


 あのときは直積についてだけみましたが、その他の例のなかにトポスの subobject classifier の定義も含まれていました。参考文献はあげられているものの、実際の筆順については示されておらず。

 というわけで、自分ならどう書くか考えてみることにします。自分ならどう書くか…なので、これが正しい書き順というわけではないですし、いまだに正しい書き順は知りません。記号は清水義夫さんの本に載っているものを使うことにして、図を描きながら定義を確認していきます。

 まず、圏C(白抜き文字にできないので太字で)に終対象1が存在するという前提があるので…

   

 これから語ろうとしているもの(条件を満たせば subobject classifier と呼ばれるもの)は、射T:1→Ωを伴った対象Ωなので…

   

 条件は任意のmono f:A >―→ B についてのことなので…

   

 1は終対象であることからAから1への一意的な射!A:A―→1があり…(※)

   

 全体がプルバックになるような χf:B ―→Ω が一意的に存在するという条件が満たされるとき…(fはχの下付き)

   

 Ωは圏Cの subobject classifier と呼ばれる。(「Ωは…」としていいのかどうかまだよくわかっていません)

 と、並べてはみたものの、実際に描くときには全体の長方形を頭に思い描いて、漢字を書くときのように上から下、左から右に描いたほうが、形が整いやすくて描きやすい気が私はしました。(ちなみに上の画像は、描いたあと順々に消していってつくりました)

 定義は本を確認しながら書いていますが、言葉遣いは我流です。特に(※)については私の理解で書いています。へんなところに気づいたらそのつど訂正させていただきます。
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