TETRA'S MATH

数学と数学教育
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量の次元

 前回、同じ量のお米を、いろいろな数値と単位の組み合わせで示せることについてみていきました。体積と重さ、尺貫法とメートル法、SI単位とそうでないものをごちゃまぜにして考えましたが、あらためて考えてみれば、体積と重さの違いと、尺貫法とメートル法の違いとは、同じ「違う」でもその違いかたが違いますね。

 どれがいちばん"違うっぽい"かは一概にはいえませんが、やはり体積と重さの違いは、とーっても違うという感じがします。他のことは、取り決めは大変だとしても、ストレートな換算のイメージがあるのに対し、「体積←→重さ」の場合、「お米ならば…」という前提が必要になってくるので。

 同じ1合でも、水だったりお酒だったりすると、数字が違ってくることでしょう。お酒の種類によっても違ってきそうです。つまり比重や密度の問題がかかわってくるのであり、g/^3 という新しい単位が必要になるわけであり。

 「長さと重さ」のような質の違いが、どうやら量の次元と関わるらしいのです(ここで「質」という言葉を使うのは、銀林浩『量の世界・構造主義的分析』の影響を受けてのこと…かもです)。

 個人的には、次元ときくと、1次元、2次元、3次元、…が浮かびますが、「量の次元」はちょっと趣が異なるみたい。というわけで、国際単位系(SI)をのぞいてみることにします。
https://www.nmij.jp/library/units/si/R8/SI8J.pdf

 SIで使用される基本量7つ(長さ、質量、時間、電流、熱力学温度、物質量、光度)と、そのそれぞれの次元の記号が載っています。他の量はこれらの基本量によって組み立てられ、組立量の次元は基本量の次元のべき乗の積で表されるとのこと。

 無次元もしくは次元1の話も出てきています。これがいわゆる「ディメンジョンがない」というやつですね、きっと。数教協いうところの「率」。速さや密度のような異種の量がつくる内包量(こちらは「度」)ではなく、2つの物体に属する1種類の量からつくられる内包量。

 遠山啓は、ディメンジョンがない量を区別するため、「度」と「率」を分けたのでした。>濃度は純粋な「数」

 考えてみれば、秒速8m も 8秒 も 8 も 8g も 8^3 も 8g/cm^3 も、みんな「8」という数を使っているのに、どういう単位がつくかで量の質がまったく違ってくるのが面白いです。

 式でいえば、4×6=24 は、4m×6m=24m^2 かもしれないし、4m^2 × 6m = 24m^3 かもしれないし、4m/秒 × 6秒 = 24m かもしれない。

 24÷4=6 は、24m^2÷4m=6m かもしれないし、24g ÷ 4cm^3 =6g/cm^3 かもしれないし、24m ÷ 4m/秒 = 6秒 かもしれない。

 ということを、『数理科学』の谷村省吾さんの連載を読みながら考えています。もちろん、上記のようなことが書かれているわけではありません。この連載で「ベクトル空間の枠」なるものと初めて出会い、最初は「何それ!?きいてないよー!」となったのですが、どうやらこの枠が量の単位と関わってくるらしいのです。

 「枠」とは何かというと、雰囲気は「基底」に近いのですが、基底よりもしばりがあるもののようです。そのしばりというのは、並び順のこと。気づいてみれば、基底って順序は関係なかったのね。


[栞がわりにリンク]

日本分析化学会>量の表しかた
http://www.jsac.or.jp/bunseki/pdf/bunseki2011/
201102nyuumon.pdf
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