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数学と数学教育
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『圏論の歩き方』第12章/(くらくらくら〜の中身)

 『圏論の歩き方』第12章を読んでいます。

 というわけで、「ここならついていける!」と開いた第12章に「ケイリーの表現定理」と「米田埋め込み」という語句が出てきて、くらくらくら〜へなへなへな〜になったしだい。それぞれ欄外注はついていますが、私の救いの手にはならず。

 「米田埋め込み」のほうは、圏論のことを調べているとよく出てくる「米田(さん…?お名前でしょうか?)」関連のことだろうと推測してみるものの、ケイリーのほうは、どのケイリーかがまずわからず。ケイリー・ハミルトンのケイリーなのか、ケーリーグラフのケーリーなのか、その両方なのか。「ケイリーの表現定理」で検索しても、関連した話題がひっかかってきません。(というか、現段階ではGoogleで1ページめにこのブログが表示されて、なんとも複雑な気分)

 「ケイリーの表現定理」の欄外注にはこう書いてあります。

すべての群はある変換群と同型である.第8章(中締め座談会)で取り上げました.

(p.203)

 ならば第8章を読んでみるかということでのぞきにいくと、確かにオプショナル・ツアーとしてケイリーの表現定理が出てくるのですが…

=====

  ケイリーの表現定理

  任意の群Gは,台集合|G|上の対称群
    Sym|G|:={σ:|G|→|G||σは全単射}
  の,部分群のうちのあるものに同型.

=====

 台集合ってなんなんでしょうか? ウィキペディア>台集合をのぞいてみるも、数学的構造#定義に転送されていて意味がわからず。ウィキペディア>台(数学)をのぞいてみても、やっぱり意味がわからず。ちなみに対称群の部分群については、以前、ラグランジュ・リゾルベントを勉強しようとしたときに出てきました。>群のなかに群がある

 すごく単純に考えていいのならば(第8章にも「あたりまえに思える人もいるかもしれませんが」と書いてあるし)、わからないでもないけれど、なんでこういう言い回しをするんだろう?と。

 とりあえず証明を追おうとしてみるものの、結局さっぱり意味がわからず。どうやらミソは、Gにおける「抽象的でよくわからない積」abが、置換σbを施した後に置換σaを施すという「具体的にイメージできる積」σaσbとして表現されているところにあるらしいのですが。

 では、米田埋め込みのほうの欄外注はといえば、「第7章を参照してください」とのこと。なにぃ、第7章ー!? 読む前からむずかしいと警告がついているあそこ? 他の章だってさっぱりわからないのに、そのなかの難しい章ならもう宇宙語みたいなものに違いない。そこを参照せよというのかっ。

 まあ、ためしに読んでみるか…ということでざっと目を通してみたのですが、案の定さっぱりわからない…どころかどこに米田埋め込みが書いてあるのかもわかりませんでしたよ私。

 気をとりなおして、話をさかのぼってみます。これらの概念は、群やモノイドの元を(互いにいつでも合成可能な)「矢印=射」として見るということ、さらには結合律を通じて、矢印=射を「その矢印=射を合成するという写像」として、つまり「はたらき」として読み替えることが可能になる、という話のなかで出てきたものでした。

 ケイリーの表現定理のほうと照らし合わせると、先ほどのミソの部分につながるイメージがなきにしもあらず。そういえば第7章の章タイトルは「表現を〈表現〉する話 ミクロ・マクロ双対性(1)」となっているのですが、つまりは「表現」ということが何か関わってくるのでしょうか?

 なんだかいろいろわからないけれど、ここで挫けるとまた止まってしまうので、そういう話があるらしいということだけ頭に入れて、先に進みたいと思います。

(つづく)

※ 読み落としや勘違いがあったときには、そのつど訂正させていただきます。
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