TETRA'S MATH

数学と数学教育
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林晋さんの田辺元論文を通して読む、ブラウワーの直観主義数学の本質

林晋さんの

 田辺元の「数理哲学」
 http://www.shayashi.jp/sisou201201a.pdf

から、

 「数理哲学」としての種の論理
 ―田辺哲学テキスト生成研究の試み(一)―
 http://www.shayashi.jp/Tanabe/shyunoronri20101110.pdf

に移っております。いやー、面白いです。林晋さんって、貴重な位置にいる方ですね〜〜(って私が言うのもえらそうですが…)

 後者の論文は、以前にもこのブログでリンクしています。近藤和敬『カヴァイエス研究』を読むにあたり、ブラウワーの自由選列について知りたくなったとき、少しお世話になりました()。

 そのほかブラウワーとの接触といえば、金子洋之著『ダメットにたどりつくまで---反実在論とは何か---』において。

 数学はメンタルな「行為」だと主張した人:ブラウワー
 ブラウワー/ハイティンク/ダメットの関係
 ブラウワーがいうところの数学の無言語性

 直観主義論理については、野矢茂樹『論理学』や山下正男『論理学史』などでも接触がありました。後者はハッセ図で考えたのでした。6年半前だ。

 直観主義論理の公理系
 直観主義論理を表すハッセ図・1

 今回は、田辺元の「数理哲学」を研究する林晋さんの言葉を借りて、ブラウワーがどんなことを考えていたのか、そして歴史的にはどういう流れになっていったのかを大まかに見ていきたいと思います。最初にリンクした2つの論文のうちの、後者の第三章の内容をざっと読んでいく形になります。

***

 19世紀〜20世紀初頭のお話。

 ニュートン、ライプニッツ以来、無限小の矛盾的性格は数学者を悩ませ続けた。この状況の解消を目指し、論理学や集合の概念を用いて極限、実数などの概念を整備することが行われたのが、いわゆる「解析学の算術化」。ところが、算術化に用いられた集合・論理概念が集合論のアンチノミーを導き、却って「数学の危機」を招く。

 その後、数学の基礎について様々な思想が現れ、この困難を取り除こうとした。危機に瀕して現れた数学思想の内で大きな流れを形成したのが、ラッセルの「論理主義」、ヒルベルトの「形式主義」、ブラウワーの「直観主義」。現代の数学は、公式見解ではヒルベルトの形式主義研究の中で作られた「公理的集合論」が支えていることになる。これは論理主義の末裔と考えることもでき、残る直観主義は、現代の数学の基礎については、ほとんど何の貢献をもしていない。

 直観主義数学は、数学史上の奇観ともいうべきもの。20世紀初頭という、数学が哲学から哲学的にも独立する過程の最後に現れ、数学の存在論についての哲学的考察から数学の基礎を改変し、さらには数学的内容(定理、定義など)自体を変えようとした。それは、結局は受け入れられなかったという社会的側面を無視すれば、「正しい理論」だった。

 ブラウワーは、彼の数理哲学的基礎をカントに求め、その哲学的「基本方針」は次のように特徴づけることができた。非ユークリッド幾何学や相対性理論などの登場により、人間が先験的なユークリッド空間直観を持つというカント哲学に基づく数学観が否定された後、残る時間直観のみで数学を再構成すべきである、と。

 ブラウワーにとっては、直観主義数学の本質は、彼が「二一性」とも呼んだカント風の「時間の原直観」なのである。

(tamami注:私もかつて誤解していた…というか理解不足だったのですが、排中律云々は本質的な問題ではないようです)

***

 「二一性」については、上記でもリンクした、ブラウワーがいうところの数学の無言語性で少し書いています。
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