TETRA'S MATH

数学と数学教育
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「乗数が割合でなければならない理由」(池田敏和さん)

 筑波大学附属小学校算数研究部企画・編集の『算数授業研究 VOL.80(かけ算を究める)』(2012年)を読んでいます。



 次は、横浜国立大学の池田敏和さん。学校図書の教科書著者のおひとりですね。池田さんは、小数のかけ算の意味をいかに拡げるかというテーマで2ページ分書かれています。そのなかで、

(1)(量)×(量)による拡張
(2)(量)×(割合)による拡張
(3)(割合)×(割合)による拡張  

という3つの立場の説明をされています。が、全体的に説明不足の感が否めず。紙面不足(文字数不足)からきているのかもしれません。

 (1)は数教協の立場と思われますが、その名は出されていないし、実際に文章を読んでみても、あまり意識されていない様子。ちなみに、「ことばの式」と「数直線図その1」という2つの項目に分けて説明がなされています。

 (2)の立場は、「1量における1つ分の何倍という見方」と「2量の間の比例を前提とした1つ分の何倍(割合)という見方:数直線図その2」という2つの項目に分けて説明してありますが、2つめがよくわからず。

 「1量における1つ分の何倍という見方」のほうは、「白のテープは赤のテープの2.4倍です」というような場面設定で考えていく立場で、ここでは長さという一量だけが取り扱われているので、比例関係を前提とする必要はない、と書いておられます。前回の論文でいえば、「内比」のみを使おうというわけですね。こっちはわかりやすい。

 で、(1)の立場の2番目の項目と、(2)の立場の2番目の項目は、どちらも二重数直線を使って説明してあるのですが、違いといえば(2)の立場では「×2.4」を示す矢印が上下で示されていることです。

 たとえば、「リボンのねだんは、1m当たり80円です。2.4mでは,何円になるか求めましょう」という問題の場合、(量)×(量)の立場でいけば、80×2.4の「2.4」は2.4mそのもののことであり、(量)×(割合)の立場でいけば、80×2.4の「2.4」にmはつかず、これは1と2.4の間にある関係としての数ということになるのかもしれません。

 しかし、私には、後者の「2.4」と「2.4倍」の違いがわかりませんでした。このわからなさは4マス関係表へのわからなさにつながりそうです。もしかすると前者は「1あたり量」を利用するもの、(2)は「倍比例で、たまたま片方が1m」という発想になっているのかしらん。よくわからず。

 ちなみに(3)の立場は、「赤のテープを1.5倍すると白のテープになり,白のテープを2.4倍すると青のテープになる」というような場面設定で考えていくものです。

 この3つの立場を説明したあと、池田さんは、「乗数が割合でなければならない理由」について次のように書いておられます。
 数学的な立場から小数のかけ算をとらえると,(2)は一次元ベクトル空間におけるスカラー倍の考えに関連づけられ,(3)は2項演算の考えに関連づけられる。しかし,(1)の考えは数学の世界では意味をもたない。
 子どもの立場から考えてみても,最終的には,乗数は割合にすべきであると考える。
(p.45)

 池田さんは、小数のかけ算の指導の後に結合法則が導入されて、3項のかけ算が取り扱われるけれど、例えば80×2.4×1.5という式の意味はどのようにすればいいのか、80mのりぼんを2.4m買って、その192円に1.5mをかけると・・というふうに意味がチンプンカンプンになってしまう、と書いておられます。そこで、(2)、(3)のような乗数を割合とした見方が要求されるわけであり、この考えは無理数の情報の素地になる、と。

 そんなこんなで、(量)×(量)を真向から否定しているわけですが、ならばそういうふうに(学校図書だけでも)教科書を作り直せばいいのに…と思ってしまうのでした。そしたら分数のかけ算も、へいにペンキを塗らずにすむでしょうに()。

 池田さんも書いておられるように、現在の教科書では整数の段階で、「いくつ分」という見方に加えて「何倍」という見方も示しています。学習指導要領解説にもそう書いてあります。池田さんは、小数の乗法においては、「いくつ分」と「何倍」のどちらの見方が適用できるかを解釈・選択していく指導も考えられる、ということも書いておられますが、自然数のときには「累加」を前面に出し、小数のときに「倍」を前面に出すと、また違った教科書になるのではないかと想像しています。

 しかし悲しいかな、こういうふうに教科書をかえたとしても、「かけ算の順序問題」は解決するどころか、いっそう固定される可能性もあるかもな、と個人的には感じています。何しろ「倍」の場合、「もとにする大きさの何倍」であり、もとにする大きさを先に書くことは、「1つ分の大きさ」を先に書くことよりも“説得力”がありそうなので。

 それはそうとして、池田さんの文章を読んでいて、(量)×(量)の名残を踏まえつつ、割合の発想をより濃く出すために、二重数直線はもってこいだったのかもしれないなぁ、とあらためて感じました。別に比例をはやくから意識したがゆえのことではなく、いい感じで結果的に間をとりもつのが二重数直線だったということか?(そうなのか?)

 余談ですが、3項のかけ算のくだりを読んでいて、「アクリルたわし圏もどき」のことを思い出しました。これだったら、「内包量×内包量×内包量=内包量」にできるんじゃないかな!?(^_^)←もちろん私の趣味の話であり、これを学校教育に取り入れろということではありません、はい。

(つづく)
筑波大附属小算数研究部『かけ算を究める』 | permalink
  

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