TETRA'S MATH

数学と数学教育
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「かけ算の順序」を固定すると、どんないいことがあるのか&数教協の「量の理論」はどこに問題があったか

 小学校でかけ算を学習するときは、(1けた)×(1けた)から始まって、九九を覚え、0のかけ算や10のかけ算を学び、2けた、3けたとけた数を増やしていき、筆算を学習して、今度は小数、分数へと拡張していくようになっています。また、その途中で、交換法則や結合法則や分配法則も学びます。

 つまり、少しずつ段階を経てかけ算を学んでいくわけですが、「けた数」と「数の拡張」のみに的を絞って、そのプロセスをのぞいてみると、次のようになってます。なお、手元にある娘が使った学校図書の教科書の内容なので、現行の指導要領に基づいているのは4年生以降です(3年生のときに補助教材が出されています)。

2年下……(1けた)×(1けた)
     巻末の「算数アラカルト」で、
     「3×12の答えを見つけよう」
3年上……(2けた)×(1けた)
     (3けた)×(1けた)
     (4けた)×(1けた)
3年下……(2けた)×(2けた)
補助教材…(3けた)×(2けた)
4年上……小数×整数
5年上……整数×小数、小数×小数
5年下……分数×整数
6年上……分数×分数

 それぞれの段階で、具体的な場面を提示してかけ算の意味について考えさせていくわけですが、すべて、(1つ分の数あるいは量)×(いくつ分、いくら分)の形の式で学び、「倍」についても学ぶようになっています。

 で、かけ算に出てくる数値のけた数をふやしたり、小数、分数に拡張していくときに、とりあえず「a×b」のどちらか一方を固定して発展させていくわけですが、小数、分数に拡張していくときには(1つ分の数)のほうを発展させ、(いくつ分)のほうを固定しています。つまり、「小数×整数」では、「1mの重さが2.3gのはり金4mの重さ」で導入をはかり、そののち、「整数×小数」では、「1mあたり80円のリボンの2.4mのねだん」で導入をはかるというふうに。また、「分数×整数」では「1回あたり2/5m^2に水をまくことのできるじょうろで3回水をまいたとき、何m^2にまけるか」というような問題設定になっています。

 私も娘といっしょに勉強したとき、「1つ分の数」のほうを発展させるのと「いくつ分」を発展させるのとでは、後者のほうが難しく、より抽象的な思考を必要とすると感じました。

 これは倍についても同じであろうと思います。つまり、1.5mの2倍よりも、2mの1.5倍のほうが、思考を発展させることを求められるだろう、と。

 そう考えられるのは、かけ算の基本に「たし算のくりかえし」という発想があればこそだと思うのですが、皮肉なことに、(1つ分の数、1あたり量)×(いくつ分)でかけ算を定義することをよしとした遠山啓は、かけ算を「たし算のくりかえし」で考えないためにも、このようなかけ算の定義が有効だと考えたのでした。>かけ算の定義について

 なお、交換法則(用語はナシ)を学ぶときにも、なんらかの具体的場面を使って学んでいることと思います。>問題の「個別性」とタイル図と構造

 で、もし、"積極的に”かけ算の順序を排除するとなると、「小数×整数」「整数×小数」を区別することはおかしいということになろうかと思います。1.5mの2倍と2mの1.5倍を区別するのもおかしい、と。しかし、いまの算数の組み立てのままでそれをやるのは乱暴(というか不可能)だろうと私は思っています。

 「1mの重さが2.3gのはり金4mの重さ」で「2.3×4」の計算の仕組みを学んだ。同じような考え方で、他の「小数×整数」もできるようになった。かけ算には交換法則が成り立つと整数で確認できるから、小数でも成り立つはずだ。だから、「2.3×4」を学習したら、「4×2.3」も計算できるわけであり、「1mの重さが4gのはり金2.3mの重さ」というような場面設定は考えなくていい。というふうにするのは無理があるだろう、と。

 おそらく「1mの重さが2.3gのはり金4mの重さ」を求めるときに、「4×2.3」にバツをつける先生は、とにかく最初の式は「2.3×4」にしてくれ、それと「4×2.3」が同じ結果になることとは別問題だ、と考えておられるのでしょう。そのことの是非はひとまずおいておきます。(また、4×2.3が「4m×2.3g」であってもOKだという考え方もあると思いますが、それもひとまずおいておきます)

 ほんでもって久しぶりに、「度」と「率」のことを考えてみます。これは遠山啓および数学教育協議会の「量の理論」のなかで出てくる量の分類で、「度」というのは「異種の2量の割合」(速度、密度など)、「率」というのは「同種の2量の割合」(濃度、打率、円周率など)と考えればわかりやすいかと思います。遠山啓は「率」にはディメンジョンがなく、扱うのが難しいので、「率」よりも「度」から学んだほうがよいと考えました。

 この“ディメンジョン”という言葉をいまだクリアに理解できない私は、とりあえずシンプルにこう考えています。「km/時」や「g/cm^3」という独自の単位がつくものが「度」、単位をつけようのないものが「率」である、と。たとえば、20kmを5時間で歩いたときの時速も、10cm^3の重さが40gである物質の密度も、どちらも「4」という数値を使って表すことができますが、これらの「4」には別々の単位がつきます。しかし、300gの食塩水に15gの食塩が溶けているときの濃度と、1000円の品物に50円の消費税が課せられるときの税率は、どちらも「0.05(5%)」で、単位のつけようがありません。
〔2014年9月20日追記〕厳密には「単位のつけようがない」という表現はおかしいのかもしれません。「g/g」や「円/円」で約分されて「1」になり、そういう意味では「1」という単位がついているとも考えられます。遠山啓がディメンジョンがないといったのは、つまりはそういうことを指しているのかもしれません。このあたりに関連する話題は、「比的率」は外延量という考え方(4)/国際単位系SIと「単位1」で書いています。

 さらに遠山啓&数教協は、均等分布の考えやすい率であるところの「度的な率」(含有率など)、考えにくい率であるところの「比的な率」(打率など)を分け、「度→度的な率→比的な率」と進むのが望ましいと考えました。ついでに言うと、「比」よりも「比例」を先に学ぶほうが好ましいとも考えていました。

 そんな遠山啓&数教協は「帰一法」というものを大事にしたわけですが、これは「3分で240m進む速さで歩くとき、15分では何m進む?」という問題を、240÷3=80(m/分)を考えてから、80×15=1200(m)と答えを出す方法です。これに対し、15分は3分の5倍だから、240×5=1200(m)と考えるのが「倍比例」です。>比例の問題の答えを出すための3つの方法とその意味

 「帰一法」は、いわば「1あたり量に帰る」方法と言ってもいいと思います。こうして出てきた数値(80m/分)は、まさに「度」になっています。一方、「倍比例」のなかで出てくる「5倍」には単位がなく、これは「率」にあたるものです。

 そんなふうに「度」や「帰一法」を重んじた遠山啓&数教協の方法論でしたが、この理論は小学校高学年の学習内容を組み立てることができませんでした。遠山啓が「ともなって変わる量」の導入題材として提案した「水槽」には「度」が出てこないし、しかも(中学校以降の)「関数」の導入題材としては「ブラックボックス」を提案しています。まったく筋道が通っていません。

 遠山啓&初期の数教協の方法論は、水道方式を中心として小学校低学年には有効だったし、中学校から高校へと向かうときの微分積分の学習の説明もつけやすいけれど、「単位量あたりの大きさ」「(率としての)割合」「比例」「比」を学ぶ小学校高学年の学習に対してはまったく系統だっておらず、整理されないまま未完成で終わっています。

 しかし、現在の小学校の教科書には、当時の数教協の影響が色濃く残っているように感じています。かつて対立関係にあった(と私が認識するところの)啓林館のサイトにも、バリバリに「量の理論」が反映されています。

 さらに、数教協が「度」と「率」の区別にこだわったのに対し、現在の算数教育の中心となる考え方では、これらはほとんど区別されていないようです。

 私がいま考えたいのは、小学校の算数の学習指導要領、教科書を作るような立場にある人が、「比例」をどう考えているのか、「かけ算の順序」にこだわるときにいったい何を大切に考えているのか、ということです。

(つづく)
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