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数学と数学教育
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2次方程式、3次方程式とラグランジュ・リゾルベントの関係

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読むための準備をしています。『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です。m(_ _)m



 はじめに前回の補足をば。前回のエントリのなかで、いま問題となっているのは「その方程式は解けるのか」ということだ、というようなことを書きましたが、これは「いつでも解けるのか」としたほうがよかったことにあとから気づきました(訂正済)。また、“その”をつけると係数が具体的にあたえられた方程式みたいだから、“その形の”としたほうがよかったですね。

 さて、それはそうとして、5次方程式の解の公式が作れないのはなぜなのか考えていく前に、気になることがひとつあります。何しろこの一連のエントリを書くことになったそもそもの動機は『差異と反復』のなかに出てくる“部分分解式の滝”を理解したいということであり、カテゴリー名も「ガロア理論」ではなくて「ラグランジュ・リゾルベント」にしてあるのに、結局ラグランジュ・リゾルベントってなんなのかということがよくわからないままだということ。

 なんだかこのままだと、ラグランジュ・リゾルベントは3次方程式の専属ツールのようにみえてしまいそうなので、2次方程式と4次方程式についても、ラグランジュ・リゾルベントがどう関わっていくのかみていきたいのです。

 というわけで、まずは2次方程式について考えて、3次方程式についてもあらためてその意味をながめたのち、4次方程式へ進んでいく予定です。

 2次方程式の場合、ラグランジュ・リゾルベントの一般式においてn=2なので、k=1、2の2つの式があり、原始2乗根ζ2=−1を使って次のように表されます(2つの解をα、βとする)。

  L2(1)=(−1)α+(−1)^2 β=−α+β
  L2(2)=(−1)^2 α+(−1)^4 β=α+β

 L2(2)のほうはそのまま対称式なので、解と係数の関係を使って−b/aと表せます。L2(1)のほうはそのままでは対称式()ではないけれど、2乗すると対称式になって、係数で表せるようになります。

  L2(1)^2=(−α+β)^2
      =(α−β)^2
      =(α+β)^2−4αβ
      =(−b/a)^2−4c/a
      =(b^2−4ac)/a^2

 分子に b^2−4ac が見えますが、すなわちこれが解の公式の√の中身です。

 というところまでは『数学ガール/ガロア理論』に書いてあって、たぶんこのあとは平方根をとってL2(1)を求めて、L2(2)との連立方程式を解けばいいのだろうと思ったですが、平方根をとるときに±をつける必要はないらしいということを、検索するなかで知りました。実際そうしないと変なことになるのですが。

 そういえば3次方程式で最終的に3乗根をとるときにも、やっぱりωはつけませんでした。そうしないとリゾルベントに複数答えが出てしまうし、そもそも定義式そのものに1の原始根が入っているのだから、平方根にしろ3乗根にしろ、原始根をのぞいた形のものだけ答えればいいのでしょうか。そうしないと困るけど、そうしていい根拠がいまいちはっきりしないのでした。

 で、α={L2(2)−L2(1)}/2={−b−√(b^2−4ac)}/2a、β={L2(1)+L2(2)}/2={−b+√(b^2−4ac)}/2aとなって、解の公式はきれいに導けます。そうですよね、±のうちのマイナスはここで出てきてほしい感じ。

 とにもかくにも言えることは、2次方程式の解の公式を求めるときには、係数体にL2(1)を添加すればよいということ。ここに例の√(b^2−4ac)があらわれてくるので。

 さて、次に3次方程式の場合についても、あらためてラグランジュ・リゾルベントの意味を考えてみます。3次方程式のラグランジュ・リゾルベントはこんな感じでした↓

   

 そして、解をL3(1)とL3(2)を使って表すことができるのですが、ここでL3(1)とL3(2)そのものが対称式になっていれば、直接、解と係数の関係からL3(1)とL3(2)を係数で表せて、そのまま解の公式にもっていけるのに、残念ながらそうはなっていないので、それぞれの3乗を求めるところから入っていかなければならなかったのでした。

 ところで、L3(1)に含まれている解を6通りに入れかえてそれぞれ3乗すると、その結果はL3(1)^3 と L^3(2)^3 の2通りにわかれることを以前確認しました。ちなみに、[123][231][312]はL3(1)^3になり、[132][213][321]はL3(2)^3になります。

 だから、L3(1)^3については、[123][231][312]のどれでもあてはまるし、言い方を変えると、どれか1つには絞れないということになります。

 ほんでもって、L3(1)^3 と L3(2)^3 を求めるために、これらを解にもつ2次方程式を作りたいので、L3(1)^3+L3^(2)^3 と L3(1)^3 L3(2)^3 を(変数変換したあとの)係数で表します。

 和のほうは、(L3(1)+L3(2))(L3(1)+ωL3(2))(L3(1)+ω^2 L3(2))と変形できることから、最終的には 27α1α2α3 という対称式になってくれて、解と係数の関係を使って係数で表すことができます。

 積のほうも、L3(1) L3(2) を整理すると α1^2+α2^2+α3^2−(α1α2+α2α3+α3α1) という対称式になるので、係数で表せます。

 そうして、x^2−(L3(1)^3+L3(2)^3)x+L3(1)^3 L3(2)^3=0 という2次方程式を作り(係数で表し)、これを解くと L3(1)^3 と L3(2)^3 が係数で表せるので、あとは3乗根をとればいいということになります(方程式の解はL3(1)とL3(2)を使って表せるので)。

 L3(1)^3 と L3(2)^3 は、共通部分をA、Dを使って表すと、A+√D、A−√D という形になっています(A、Dはそれぞれ方程式の係数で表される式)。つまり、この2次方程式を解く段階で√Dを係数体Kに添加していることになり、3乗根をとる段階で、3√(A+√D)を添加して体K(√(A+√D))に拡大しているというわけです。ここまでくれば、解の公式が導ける、と。

 3次方程式のラグランジュ・リゾルベントについては、以前よりだいぶ慣れてきた感じがします。あとは、巡回群との関係をおさえたいです。それをおさえたうえで4次方程式について考えていきたいのですが、これがなかなかどうして大変なのよ……

(つづく)
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