TETRA'S MATH

数学と数学教育
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最初から体に原始n乗根が入っているとすると…

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読むための準備をしています。『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です。m(_ _)m



 これまで、「どの世界(範囲)で方程式をとらえるか」ということを考えるとき、スタート地点としては有理数の世界、すなわち有理数体Q上で考えてきました。そして、有理数の世界では答えが出なくても、それに何かを添加して世界を広げる(体を拡大)することで、答えが出せるようになるよ…ということも(だいぶ前の話になっちゃいましたが)考えたのでした。

 ほんでもって、これまで有理数体Qで考えてきた出発点を、これからは係数体Kで考えていきたいのです。係数体というのは、方程式の係数が属している体のことであり、有理数体と係数体は異なるものだという意味ではなくて、これまでは係数体として有理数体を考えてきた、ということです。

 さらに。なんでそんなことをしていいのかいまはとても説明できそうにないのですが、この係数体Kに、最初から1の原始n乗根が含まれていることにしたいのです(ちなみに、こういうことをしても問題がないことには、ガウスの仕事がからんでいるらしいです)。

 そうするとどういういいことがあるかというと、たとえば x^3−2=0 の解は、3√2のほか、1の原始3乗根であるζ3=ωを使って、3√2ω,3√2ω^2と表される2つの数もあるわけですが、もし係数体にωが入っていなかったら、これらの解は登場できないのだけれど、最初から係数体にωが入っているとすれば、3√2を入れるだけで、3つの解をつくせてしまうことになるのです。つまり、3√2を入れるだけで正規拡大できてしまう、と。あらま、ありがたい。

 考えてみれば、x^2=2の解はx=±√2ですが、これも実は√2、√2 ζ2ってことだったのかもしれませんね。ζ2=−1だから。

 それにしても思うことは・・・

 たとえば、

   x^3=2

だと、

   x^3=(3√2)^3

にしてもいいような気がしてきて、

   x=3√2

でもわるくないんじゃないかと思えてきますが、

   x^3−2=0

だと、たとえ

   x^3−(3√2)^3=0

にしても、ここから

   x−3√2=0

をもってくるのはかなり抵抗があるというか、気持ちとして不可能という感じがします。1の3乗根に慣れたいまとなっては、右辺が0の状態で、xの指数が3だと、左辺の2に3つの解がぼわぼわぼわ〜と浮かび上がってきて、

   x^3−2=0
     (   )^3
       ↑
     3√2 ぼわ
     3√2ω ぼわ
     3√2ω^2 ぼわ〜

それが、つまりは

   (x−3√2)(x−3√2ω)(x−3√2ω^2)=0

ってことなんだなぁ、と思えてきます。

 結局のところ方程式が“解けている”というのは、左辺がxの1次式に因数分解できているってことなんだなぁとあらためて思うことであります。だから、すべての解が日の目を見られるように、世界を広げていってあげたい。…広げられるのであれば。

(つづく)
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