TETRA'S MATH

数学と数学教育
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群を部分群で“割る”ことに慣れつつ、正規部分群をおさえる。

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読むための準備をしています。『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です。m(_ _)m



 さて、そんなこんなで、3次の対称群の類別のひとつをみていきました。前回はC3で“割る”ことを考えたのですが、類別に慣れるために、今度はC2aで“割る”とどうなるかをみていきます。

 なお、カードの置き場所という雰囲気を出すつもりで[2][1][3]と書いてきた元を、今後はひとつものだということがわかりやすくするため[213]と書いていきます。

 あ、細かいことですが、『数学ガール/ガロア理論』では、このあたりの話では要素という言葉も使われていますね。元と要素は同じことだと思うけど、ニュアンスが違ってくるかな? そういえば、要素数というのはきいても、元数というのはききませんね。だけど、単位元、逆元は元だよな…。ふむ。まあ、とりあえずあまり気にせずにいきましょうか。きょうは要素でいってみよう。

 もう1度、S3の部分群を確認します。S3の要素の並びをちょっと変えてあります(『数学ガール/ガロア理論』にあわせました)。

S3={[123],[231],[312],[213],[321],[132]}
C3={[123],[231],[312]}
C2a={[123],[213]}
C2b={[123],[321]}
C2c={[123],[132]}
E3={[123]}

 これをC2aで“割る”ために、C2aにS3の各要素を反応させてみます。

ア C2a★[123]={[123],[213]}
イ C2a★[231]={[231],[132]}
ウ C2a★[312]={[312],[321]}
エ C2a★[213]={[213],[123]}
オ C2a★[321]={[321],[312]}
カ C2a★[132]={[132],[231]}

 結果は、アとエが{[123],[213]}、イとカが{[231],[132]}、ウとオが{[312],[321]}となり、C2a\S3の要素は、C2a、C2a★[231]、C2a★[312]となります。

 ところで、部分群にもとの群の要素を「右から」反応させることは、あみだくじでいえば、部分群のあみだくじの下側に、もとの群のあみだくじをつなげる場合になります。では、部分群の「左から」、群の要素を反応させるとどうなるでしょうか。あみだくじでいえば、部分群の上に、群の要素としてのあみだくじをのせる場合です。

 [123]★C2a={[123],[213]}
 [231]★C2a={[231],[321]}
 [312]★C2a={[312],[132]}
 [213]★C2a={[213],[123]}
 [321]★C2a={[321],[231]}
 [132]★C2a={[132],[312]}

 よく眺めてみると、イと、ウと、オと、カとでは結果が違っています。C3についてはちゃんと確かめることをしませんでしたが、C3★(もとの群の要素A)と(もとの群の要素A)★C3の結果はいつも同じになります。しかし、C2aの場合は、もとの群の要素を左から反応させるか右から反応させるかで、要素によっては結果がかわってきます。

 このC3のように、ある部分群の左側からもとの群の要素を反応させても、右側から反応させても、結果が同じであるとき、その部分群をもとの群の正規部分群というようです。

 そして、C3に群の要素を右から反応させてできた剰余類全体の集合をC3\S3と書き、C3に群の要素を左から反応させてできた剰余類全体の集合をS3/C3と書くようです。

 余談ですが、この「反応させる」というのは私の勝手な表現だとはいえ、どちらをどちらに反応させるのかは一概には言えないよなぁ、と思うことであります。『数学ガール/ガロア理論』にはたぶん出てきていないと思うのですが、左剰余類、右剰余類という用語もあるようで、「左なのはだれ?」「右なのはだれ?」と思うわけであります(←群の要素なのですが)。イメージとしては、とある部分群をもとに剰余類を求めようとしているのだから、そのときの主人公は部分群であり、もとの群の要素を反応させると思えば、左剰余類、右剰余類もなるほどとは思います。ただし、文献によっては左右逆の場合もあるとウィキペディアの「剰余類」に書いてありました。正規部分群の定義についても微妙な書き方がしてあります。

 さて、この正規部分群、なかなかどうしてやり手の部分群なのでございます。そしてガロアは、方程式が代数的に解けるための条件を考えるうちに、この正規部分群の重要性に気づいたらしいのです。

(つづく)
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