TETRA’s MATH

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群を部分群で“割る”ことに慣れつつ、正規部分群をおさえる。

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読むための準備をしています。『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です。

       *     *     *

 さて、そんなこんなで、3次の対称群の類別のひとつをみていきました。前回はC3で“割る”ことを考えたのですが、類別に慣れるために、今度はC2aで“割る”とどうなるかをみていきます。

 なお、カードの置き場所という雰囲気を出すつもりで[2][1][3]と書いてきた元を、今後はひとつものだということがわかりやすくするため[213]と書いていきます。

 あ、細かいことですが、『数学ガール/ガロア理論』では、このあたりの話では要素という言葉も使われていますね。元と要素は同じことだと思うけど、ニュアンスが違ってくるかな? そういえば、要素数というのはきいても、元数というのはききませんね。だけど、単位元、逆元は元だよな……。ふむ。まあ、とりあえずあまり気にせずにいきましょうか。きょうは要素でいってみよう。

 もう1度、S3の部分群を確認します。S3の要素の並びをちょっと変えてあります(『数学ガール/ガロア理論』にあわせました)。

S3={[123],[231],[312],[213],[321],[132]}
C3={[123],[231],[312]}
C2a={[123],[213]}
C2b={[123],[321]}
C2c={[123],[132]}
E3={[123]}

 これをC2aで“割る”ために、C2aにS3の各要素を反応させてみます。

ア C2a★[123]={[123],[213]}
イ C2a★[231]={[231],[132]}
ウ C2a★[312]={[312],[321]}
エ C2a★[213]={[213],[123]}
オ C2a★[321]={[321],[312]}
カ C2a★[132]={[132],[231]}

 結果は、アとエが{[123],[213]}、イとカが{[231],[132]}、ウとオが{[312],[321]}となり、C2a\S3の要素は、C2a、C2a★[231]、C2a★[312]となります。

 ところで、部分群にもとの群の要素を「右から」反応させることは、あみだくじでいえば、部分群のあみだくじの下側に、もとの群のあみだくじをつなげる場合になります。では、部分群の「左から」、群の要素を反応させるとどうなるでしょうか。あみだくじでいえば、部分群の上に、群の要素としてのあみだくじをのせる場合です。

 [123]★C2a={[123],[213]}
 [231]★C2a={[231],[321]}
 [312]★C2a={[312],[132]}
 [213]★C2a={[213],[123]}
 [321]★C2a={[321],[231]}
 [132]★C2a={[132],[312]}

 よく眺めてみると、イと、ウと、オと、カとでは結果が違っています。C3についてはちゃんと確かめることをしませんでしたが、C3★(もとの群の要素A)と(もとの群の要素A)★C3の結果はいつも同じになります。しかし、C2aの場合は、もとの群の要素を左から反応させるか右から反応させるかで、要素によっては結果がかわってきます。

 このC3のように、ある部分群の左側からもとの群の要素を反応させても、右側から反応させても、結果が同じであるとき、その部分群をもとの群の正規部分群というようです。

 そして、C3に群の要素を右から反応させてできた剰余類全体の集合をC3\S3と書き、C3に群の要素を左から反応させてできた剰余類全体の集合をS3/C3と書くようです。

 余談ですが、この「反応させる」というのは私の勝手な表現だとはいえ、どちらをどちらに反応させるのかは一概には言えないよなぁ、と思うことであります。『数学ガール/ガロア理論』にはたぶん出てきていないと思うのですが、左剰余類、右剰余類という用語もあるようで、「左なのはだれ?」「右なのはだれ?」と思うわけであります(←群の要素なのですが)。イメージとしては、とある部分群をもとに剰余類を求めようとしているのだから、そのときの主人公は部分群であり、もとの群の要素を反応させると思えば、左剰余類、右剰余類もなるほどとは思います。ただし、文献によっては左右逆の場合もあるとウィキペディアに書いてありました。正規部分群の定義についても微妙な書き方がしてあります。

 さて、この正規部分群、なかなかどうしてやり手の部分群なのでございます。そしてガロアは、方程式が代数的に解けるための条件を考えるうちに、この正規部分群の重要性に気づいたらしいのです。

(つづく)

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