TETRA'S MATH

数学と数学教育
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群と群で割り算ができる!?/類別・剰余類

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読むための準備をしています。『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です。(というか物語の流れを完全にくずして我流で書いてます…m(_ _;)m)



 そんなこんなで、1つの群のなかにある群(部分群)についてざっとみていきました。

S3={[1][2][3],[1][3][2],[2][1][3],
          [2][3][1],[3][1][2],[3][2][1]}
C3={[1][2][3],[2][3][1],[3][1][2]}
C2a={[1][2][3],[2][1][3]}
C2b={[1][2][3],[3][2][1]}
C2c={[1][2][3],[1][3][2]}
E3={[1][2][3]}

 このうち、C3={[1][2][3],[2][3][1],[3][1][2]}の元たちは、ぐるぐるまわしてできるような元になっていますが、S3のうちの残りの3つの元からなる集合X3={[1][3][2],[2][1][3],[[3][2][1]}を考えると、こっちはこっちでぐるぐるまわしているような感じがします。別の言い方をすれば、S3のそれぞれの元の決められた2箇所を交換してできる元をあつめるとX3になるというか。ただし、X3には単位元がないので、群にはなりません。

 ほんでもって、C3とX3は、あわせれば全体になるし(C3∪X3=S3)、お互いたぶっているところがないわけで(C3∩X3={}←空集合)。こういうふうに、もれなくだぶりなく分類することを、類別とよぶようです。

 で、先ほど、X3の元は、C3の元の決められた2箇所を交換してできるようなもんだと書きましたが、たとえば左端と中央を交換するような並べかえは[2][1][3]と表せるので、C3のそれぞれに[2][1][3]を施すと、X3ができます。つまり、X3はC3★[2][1][3]と書けるというわけです。ついでに言えば、どれか2枚を交換させてからぐるぐるまわしても同じことなので、X3は[2][1][3]★C3でもあります。

 ずっとイメージだけで書いているのでミルカさんから喝が入りそうですが、引き続きイメージでつっきりまーす。(^^;

 さて、C3のそれぞれの元に、C3のそれぞれの元を反応させることを考えると、カードはぐるぐるまるだけなので、集合としてはC3であることに変わりはありません。すなわち、C3★[1][2][3] も C3★[2][3][1] も C3★[3][1][2] も全部C3

 一方、どれが2枚を入れ替える操作を反応させるとX3になるので、C3★[2][1][3]、C3★[3][2][1]、C3★[1][3][2] は、みんな C3★[2][1][3] と一致します。

 こんなふうに、S3をC3を使って分類した結果(C3とC3★[2][1][3])を、S3をC3で割った剰余類と呼ぶようです。群を群で割って剰余類とは何ぞや!?とも思いますが、個人的にはこの「割る」という表現は意外としっくりきます。

 さらに、S3をC3で割った剰余類全体の集合を、C3\S3と書くようです。ちなみにこれは集合の集合になります。C3\S3={C3,C3★[2][1][3]}ということ。ついでにもうここで書いてしまうと、S3/C3という書き方もあって、これは{C3,[2][1][3]★C3}を示しています。そしてC3の剰余類の場合は、C3\S3=S3/C3となり、これがC3の大きな特徴らしいのです。

(つづく)
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