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数学と数学教育
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3次方程式の場合、ラグランジュ・リゾルベントから、どうやって解の公式にもっていくのか。

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読むための準備をしています。『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です。m(_ _)m



 というわけで、3次方程式のラグランジュ・リゾルベントがわかりました。これは解(といってもまだわかっていない)で表された式ということになりそうです。ほんでもって、このラグランジュ・リゾルベントと方程式の係数にはどんな関係があるのでしょうか。何しろ、たとえば3次方程式 2x^3−5x^2+3x+1=0 を解きなさいと言われた場合、手がかりは2、−5、3、1の係数たちしかないのです。この数たちが方程式を決めているのだから、ここを手がかりに解を求めるしかない。

 ほんでもって、解と係数といえば、「解と係数の関係」です。たぶん高校でやってますね。αとβという2つの解をもつ2次方程式は、(x−α)(x−β)=0と表せますが、左辺を展開すると、x^2−(α+β)x+αβ=0となるので、これが ax^2+bx+c=0 → x^2+(b/a)x+(c/a)と一致するなら、α+β=−b/a、αβ=c/a というふうに、解と係数の関係がわかるよ、というあれです。αとβが何であるかがわかっていなくても、また、どちらがどちらにあたるかがわかっていなくても、とにかく2つの解の和が−b/aであり、2つの解の積がc/aであることがわかる、というわけです。

 3次方程式についても同じことがいえるわけであり、3つの解をα、β、γとすると、

  (x−α)(x−β)(x−γ)=0

の左辺を展開して、それを、

   ax^3+bx^2+cx+d=0

と見比べることで、α+β+γ=−b/a、αβ+βγ+γα=c/a、αβγ=−d/a という関係が求まります。α、β、γが何であるかわからなくても、どれがどれだかわからなくても、この関係が言えるということだけはわかります。もしこれが、α+2β+3γ=○といったような式だと、どれがαでどれがβでどれがγかが重要になってきますが、解と係数の関係であらわれる式は、そういうことにはなっていません。だれかとだれかを入れ替えてもその値は変わらない。こういう式のことを「対称式」というようです。

 で、はたと気づけば、3次方程式のラグランジュ・リゾルベントのうち、L3(3)に関しては、この解と係数の関係のうちの1つが出てきているのです。



 解をα1、α2、α3ではなくα、β、γと表すと、L3(3)=α+β+γ=−b/a となります。

 なお、『数学ガール/ガロア理論』では、3次方程式にまずチルンハウス変換なるものをほどこしてx^2の項を消した式(ax^3+bx^2+cx+d=0 → x^3+px+q=0)で、ラグランジュ・リゾルベントを考え始めています。b=0になることから、L3(3)=0となり、計算がラクなのです。何か特別な3次方程式について考えているわけではなく、一般式でずっと考えているので、いつでもこの変換は成り立ち、そしてここから3次方程式の解の公式を導くことができるのだと思います。

 そうすると、3つの解が、L3(1)とL3(2)だけで表せます(ω^2+ω+1=0を上手に使う)。本ではLとRになっているので、以下この記号を使うと、L^3+R^3、L^3 R^3をp、qで表したのちに、2次方程式を作ってL^3とR^3をp、qで示し、3乗根をとってL、Rをp、qで示し、そこからa、b、c、dにもどしていくと、3つの解はa、b、c、dで表されるのだから、公式が導かれるというプロセスです。できあがった公式はさすがにけっこう複雑ですが、共通している部分を記号を使って表すと、確かにそこに構造があることが感じられます。

(つづく)
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