TETRA’s MATH

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方程式の解法に関して、ラグランジュの何がえらかったのか。

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』を参考書にしながら、ドゥルーズ『差異と反復』第四章のごく一部を読もうとしています。いまはまだまだ準備段階です。(なお、『数学ガール/ガロア理論』についてはネタばれ注意です)

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 1つ前のエントリでは、2次方程式について考えました。左辺を因数分解で解けるとらくちんだけど、もし因数分解を思いつかなくても、いざとなれば「解の公式」で解を求めることができます。もっといえば、解の公式を忘れてしまっても、平方完成することで、すなわち(x−○)^2=□という形にすることで、解が求まります。

 この解の公式 x={−b±√(b^2−4ac)}/2a というのは何かというと、はやい話、解xを、方程式にあらわれている数a、b、cで表したものです。だから、方程式 ax^2+bx+c=0 が与えられたら、a、b、cの値を読み取って、それを解の公式に代入すれば解が求まるという、ありがたい式です。解の公式があればいつでも解が求まるわけだし、解の公式があるということは、いつでも解が求まるということが保証されていることでもあります。

 じゃあ、3次方程式はどうなんでしょうか。2次方程式の解の公式のように、方程式が与えられてそこにあらわれている数がわかったら、それをもとにして解を導けるような方法はあるんでしょうか。

 結論からいうと、あるみたいです。公式としては、カルダノの公式というものが、タルタリア(フォンタナ)との“すったもんだ”も含めて有名かと思います。しかし、(私はこのたび初めて知ったのですが)タルタリアの前にフェロという人が見つけていたのだそう。このあたりいろいろ逸話があるようですが、いま考えたいのはラグランジュの方法。

 ラグランジュは、カルダノやオイラーの解法を研究して、3次方程式や4次方程式の解法から、未解決だった5次の方程式を得ようとしたのだそう。そして、方程式の解法の背後に「解の置換」が絡むということを見抜いたようなのです。その一部を表したのが、ラグランジュ・リゾルベントらしいのです。私がいま理解したい概念。ドゥルーズ『差異と反復』の第四章に出てきます。

 「置換」というのは、漢字では「置き換え」と書きますが、たとえば(1,2,3)と左から並べた3枚のカードを(1,3,2)と置き換えたり、(3,2,1)と置き換えたりする、そういう作業についてのあれこれを扱った概念と思えばよいかと思います。『数学ガール/ガロア理論』では、第1章で「あみだくじ」を使ってこの置換の導入がなされており、大変わかりやすいです(ちなみに個人的にはアミダの圏を思い出しました)。

 置き換えの作業にもいろいろあって、どれか2枚だけを交換したり、左から1枚をとって右から付け加えたり、あるいは何もしないのも置き換えのうちであり、(1,2,3)の場合は、全部で6通りの置き換えの作業を考えることができます。さらに、その置き換えの作業を繰り返していくこともできます。(1,2,3)→(1,3,2)→(3,2,1)というふうに。

 その置換がラグランジュ・リゾルベントにどう関わっていくかをみていくには、まだまだ先が長いのですが、ひとまず『数学ガール/ガロア理論』のp.263に、カッツ『数学の歴史』からの引用があるので、それでなんとな〜く雰囲気をつかんでおきたいと思います。

ラグランジュは3次方程式の他のいくつかの解法も考えたが,
各々の場合に同じ考え方が横たわっていることに気づいた.
どの方法も六つの可能な置換に対して,
二つの値だけをとるような三つの根の有理式が現われ,
結果として,その式は2次方程式を満たすのである.


(つづく)

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