TETRA'S MATH

数学と数学教育
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かけ算の式を「外延量」「内包量」の視点で考えてみる

 かけ算の式について、外延量・内包量の視点で考えることをまだしていなかったので、ちょっと考えておくことにします。

 遠山啓&数教協の「量の体系」では、まず、量を分離量と連続量に分けるところから始まり、連続量は外延量と内包量に分けられます。なお、外延量・内包量という用語は遠山啓が使い始めたわけではないようなのですが、算数・数学教育のなかにがっちり取り入れようとしたのは遠山啓および数教協なのだろうと私は認識しています。

 というわけで、本来ならば連続量のなかで外延量と内包量の区別を考えるのがスジなのですが、、小2で出てくるかけ算との関わりを考えられるよう、いまは外延量的分離量、内包量的分離量も含めて、外延量と内包量の区別を考えたいと思います。

 外延量というのは物体の合併がそのまま加法を意味するような量で、長さや重さなどがあてはまります。内包量というのは、密度、速度、濃度など、2つの外延量の関係で決まる量で、外延量が“大きさ”もしくは“広がり”の量であるのに対し、内包量は、いわば“性質の強さ”を表す量と考えればよさそうです。

 既測量を「1」とおくことは困難か?/「倍」としてのかけ算というエントリで2つのかけ算の種類を示しましたが、青枠で示した「1あたり量」も、赤枠で示した「倍」も、どちらも内包量であり、2つの外延量のわり算で求めることができます。なので、「1あたり量」のかけ算のほうは「内包量×外延量」だし、「倍」のかけ算は、「外延量×内包量」の形をしています。



 そして今回、外延量と内包量の関係式をもう少し詳しく……というか、外延量だけで書くとどうなるんだろう?と思いつき、次のようなことを考えてみました。



 割合のほうがやや不安です。同種の量の割合だからこう書くしかないのだけれど、本来、分母も分子も「未測の外延量」のほうがいいのではなかろうかという疑問があり、その場合、Bという記号をつけることが、少し気持ちわるいからです。「1人あたり4こ」と「1mあたり4g」は違うものだけれど、4この「6倍」と、4gの「6倍」は、同じ「6倍」だから。消費税の10%も、食塩水の濃度10%も、生産量増加の10%も、同じ10%だから。

 ついでといってはなんですが、「1あたり量」のかけ算と関わりの深い「度の三用法」(ここでは「1あたり量」の三用法とよぶことにします)と、「倍」のかけ算と関わりの深い「割合の三用法」についても、外延量・内包量の区別でとらえてみることにりました。


 
 等分除・包含除の発展形は、ほんとうにそう考えてよいのかどうかまだもやもやしていますが、外延量と内包量の区別でかけば同じ形になる除法が、包含除・等分除という区別でいけば別物になるというのが、なんとも不思議です。ここではA、Bの区別をつけなかったのですが、やはり異なる種類の外延量であるか、同じ種類の外延量であるかで、商の意味はかわってくるのかもしれません。

 それにしてもやはり不安なのは割合のほうです。

 「割合」って、やっぱり量じゃなくて、数なのかな。

 ちなみに。

 遠山啓も、「倍」「比」を内包量に入れた系統図と、「倍」「比」は内包量からのぞいた系統図の両方を、同じ時期に書いています。著作集・数学教育シリーズ5のp.105(『算数教室』1960年11月号)では、内包量を度・率・倍・比の4つに分け、それをまた割合として1つに括っていますし、シリーズ6のp.23(『数学教室』1960年11月増刊号)では、内包量を度と率の2つに分け、これに倍と比を加えた4つを割合で括っています。

 その分類自体がどうよ?という話はありますが、あれこれあれこれ考えるにつけ、もしかすると、小2のかけ算自体を、「倍」で定義しちゃうという道が、現実的になっていくということがないともいえないなぁと感じるきょうこのごろです。歴史的にはあともどりになるでしょうか。

 そして、「単位量あたりの大きさ」も「割合」も「二重数直線」で、ほぼ同じもとして扱う。違いは、下の線に単位があるかないかだけの話。そうすれば、数教協が「単位あたり量」と称した量も、教科書で称しているように「単位量あたりの“大きさ”」となり、それは「数としての割合」と、ほぼ同義のものとなる。また、「単位量あたりの大きさ」は、比較としての平均や人口密度、すなわち除法の段階にとどめ、速さは単独で扱う。さらに関数は、いっそのこと変量を扱う関数ではなく、対応関係として扱う。なんなら思い切って算数教育から量を排除してしまう?……と、そんなところまで妄想はいってしまうのでした。それを望んでいるというわけではなく。

 遠山啓の21世紀のサウンズは、どのようなものなのでしょうね……>

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