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数学と数学教育
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関数の歴史的意義、ブラックボックスと“心眼” (1)

 遠山啓著作集<数学教育論シリーズ0>『数学教育への招待』に、「関数とはなにか」という文章が収められています。初出は『ひと』1975年4月号なので、遠山啓の第三期()の発言ということになります。
 
 遠山啓はここで、関数は数学の主役である、と語っています。また、数学は言語と多くの共通点があり、数学はとくべつな言語であるといってもいいくらいだ、とも。ただし、日本語や英語のように長い年月をかけて多くの人々がこしらえあげてきた自然言語ではなく、エスペラントのような人工言語に似ている、と。

 4000〜5000年の数学の歴史をひもといてみると、はじめに考えられたのは、長さや面積、体積のような量、1,2,3,・・・という数、それから、三角形や四角形のような図形だった。これはどちらかというと、名詞的な考え方だった。もちろん、“たす”や“かける”といったような“はたらき”がまったく考えられなかったということではないが、それはあくまでも脇役であって、主役ではなかった。

 数学のなかに動詞的な“はたらき”が主役のひとつとして登場してきたのは17世紀になってからであり、それが“関数”だった。なお、関数(function)という用語がはじめて登場したのはライプニッツの論文においてであり、それ以来、この関数は数学の主要な柱のひとつとなった。

 なぜ、関数という考えは17世紀になってはじめて生まれたのかといえば、この時期が「科学革命」の時代といわれるものであったから。惑星の運動法則が明らかにされ、力学の基礎がうちたてられた。自然界には数多くの量的因果法則が潜んでおり、それを明らかにするのが自然科学の主要な任務のひとつとなった。たとえば、落体の法則を例にとると、落下の時間を測ることで、落下した距離を知ることができる。このように、原因から法則(はたらき)を使って結果を出すことができる。

 数学という学問の立場からみれば、量的因果法則は関数のかたちに書き表されることが多く、未知の因果法則の探求は、未知の関数の探求というかたちをとることが多い。つまり、数学のなかに登場してきた関数は、自然探求のための強力な武器となった。

 さて、そんな関数を幼いときから理解して使いこなすようになれたら、それは望ましいことであるが、これまで関数は子どもたちにわかりにくいものであった。その理由の1つとして、関数が“もの”ではなく“はたらき”であり、“名詞的”ではなく、“動詞的”なものである、ということがあげられる。子どもの目のまえにもってきて、“こういうものだ”といって説明することが困難だったからである。

 しかし、困難ではあっても、不可能ではない。きまった“はたらき”をもっていて、関数を説明するのに都合のよいものは、探せば、ある。多くの機械もしくは装置は、そのようなものである。たとえば自動販売機。切符を売るための自動販売機は、お金を入れると切符が出てくる。これも、原因(お金)から一定のしかたで結果(切符)を生み出す“はたらき”をもっている。このようなものを、工学者は“ブラック・ボックス”とよんでいる。

 以上が、「関数とはなにか」前半のおおまかな要約です。なお、いつものごとく、文章の順番を入れ替えて我流にまとめています。このあとは、記号の威力の話になっていきます。

 一方、著作集<数学論シリーズ5>『数学つれづれ草』のほうには、「関数と暗箱」という文章が収められています。初出は『数学教室』1966年12月号で、原題は『現代数学への道11』。こちらは遠山啓の第二期の発言ということになります。関数の歴史的意義について、S.ボホナーの文章と、関数と知らずに関数を研究していた例として、建部賢弘の話が出てきます。

(つづく)
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