TETRA'S MATH

数学と数学教育
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小島寛之が語る、ラッセル&フレーゲと遠山啓

 小冊子『いま,遠山啓とは』所収の、小島寛之「遠山啓氏の思想から見えるもの」(『数学セミナー』2009年10月号から転載)を読んで感じたことを書いています。

 前回のエントリでは、小島寛之が遠山啓からどういうふうに影響を受けてきたかについてみていきましたが、そんなふうに小島寛之が「遠山の残した棋譜」を追った中で最も有益だったのは、「数教育の理論」だったのだそうです。「数教育の理論」とは、「自然数とその計算とはいったい何か」ということを子どもにどう理解させるかという方法論のことだとして、ご自身の著書2冊を参考文献として巻末に示しています(小島寛之『数学につまづくのはなぜか』講談社現代新書、小島寛之『無限を読みとく数学入門―世界と「私」をつなぐ数の物語』角川ソフィア文庫)。

 まずは藤沢利喜太郎の「数え主義」に対する批判の話から始まり、その流れでクロネッカーや「ペアノの自然数理論」が出てきます(なお、このブログでは、クロネッカー−藤沢「順序数主義」批判と、「構造」などのエントリで触れています)。
 このような「数え主義」がさまざまな難点を抱えることを,遠山は鋭く見抜いた.まず,簡単な足し算さえ困難となる.なぜなら,いつも「次」の個数に関する「植木算」に直面するからである.また,累加がいったい何を意味しているのか子供には分からない.さらには交換法則「2+3=3+2」さえどうして成立するのかも説明できない.実際,当たり前ではなく,それは証明されるべき事実である.「ペアノの自然数論」でも,ペアノの指示した5個の公理から加法の交換法則を証明するのはかなり面倒な作業なのだ.
 また、「数え主義」は10進法の構造の会得にもとても都合が悪く、筆算を教えることができないので、原理的に暗算に頼る以外になくなってしまうと指摘して、銀林浩・榊忠男・小沢健一編『遠山啓エッセンス◆戞米本評論社)を参考文献にあげています。

 このような「数え主義」の持つ不具合を明確に解析した上で、遠山は他の数教育の方法論を模索し、そしてたどりついたのが「ラッセル&フレーゲの自然数理論」だ、と続くのです。なお、このことは遠山啓の著作で確認したわけではなく、単なる筆者の憶測にすぎないが、銀林の教科教育法の講義の参考文献にラッセルの『数理哲学序説』があったことからみても、またラッセルの本の内容と遠山の方法の酷似から見ても、ほぼ確信に近い、と書いています。

 私の記憶では、遠山啓の数学教育方法論にまつわる記述で直接的にラッセル&フレーゲが出されているのを読んだのは初めてなので、最初びっくりしました。ペアノやカントールは話の流れで出てきますが。

 小島寛之は、まずフレーゲについて、自然数を「集合の集合」として規定することを試みた(カントールとデデキントの方法を援用して自然数を規定しようと試みた)人物だと紹介します。そして、集合Aと集合Bの1対1対応(全単射)と「同類」の話が出され、ラッセルはこのフレーゲの発想を基点にしてそれにいくつかの公理を加え自然数の公理系を作った、しかし矛盾がおき、それが逆に現代的な数学基礎論や数理論理学の出発点となり、フォン・ノイマンによって改修され、再構築された、というのが大まかな流れです。

 で、遠山啓はこのラッセル&フレーゲの自然数論を、児童への数教育の基礎理論に仕立てた、と話は続きます。先ほどの集合AやBを「タイル」3つから成る集合と1対1対応させて、それによって自然数「3」を理解させる、つまり、任意の集合に対し「タイル」の集合への1対1対応を作ることで、その集合の持つ属性としての「要素数」を抽出するのである、と。このような遠山啓の数教育から、「数学は現実を抽象化したもの」という思想が結晶していることを明白に見てとることができる、というふうに小島寛之はこの一節を締めくくっています。

 なるほど確かに、遠山啓は1対1対応から数を理解させるという方法をとっており、これが(カントールの方法を援用した)ラッセル&フレーゲからきているといわれれば、確かにそうなのかもしれません。

 で、ラッセル&フレーゲからきているとして、だからどうなのだ、ということについては、読者が大いに思考&想いを広げる・広げられる領域なのでしょう。私がまず思ったのは、「そうか、ラッセル&フレーゲが根本にあるのね。だったら遠山啓は基本的に○○主義者なのね」というような短絡的な考え方をしてはいけないな(ラッセル&フレーゲに詳しくない私はそう思いがちだな)ということと、もう1つは、時には大きく---ラベルを手がかりに---考えてもいいかもな、ということでした。なお、TETRA’S MATHでは、フレーゲとラッセル、そしてブラウワーといったエントリを書いています。

 後者(ラッセル&フレーゲを手がかりに“大きく”考えること)については、小島寛之の文章をひととおりみたあと、さらに突っ込んで考えたいと思っています。

(つづく)
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