TETRA'S MATH

数学と数学教育
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論理学と数学の関係

 野矢茂樹『論理学』です。「第3章 パラドクス・形式主義・メタ論理」を読み始めていましたが、メインをがーっととばして、いきなり最後の“付論 論理主義”をのぞいてみます。

 フレーゲは「論理主義」と呼ばれる立場に立ち、その上で述語論理を構築しましたが、ラッセルのパラドクスによって挫折しました。

だが,いったいフレーゲが具体的に何をめざし,それがどのようにして挫折を余儀なくされたのかについては,これまで説明を省略してきた.理由は,論理主義の問題はむしろ数学の哲学に関わると判断したからである.

(p.155)

というわけで、野矢茂樹さんはこの付論において、「論理主義とはどのような立場であるのか、その立場からするとラッセルのパラドクスはどのように問題になるのか、そしてどのようにその解決が図られたのか」について、“玄関口から屋敷内を窺う程度に”説明を試みておられます。

 論理主義とは一言で言えば、数学を述語論理に還元しようとする立場、すなわち

(1) 数学的諸概念を述語論理の表現のみを用いて定義し、
(2) 数学の諸定理を述語論理の規則のみを用いて導こう

とする立場です。そして、論理学から数学へと踏み出る第一歩は、数と四則計算を扱う分野、すなわち自然数論(算術)であるというわけです。

 では、自然数論と論理学の違いはどこにあるのか?
 

例えば,述語論理では同一性「x=y」が扱われていなかった.他方、数学では同一性が扱われる。それは確かに違う点である。だが、論理主義の問題はそこにはない

 (p.156/斜体部分は本の中では傍点付き)

 そして、同一性はしかるべき論理的性質を満足する二項関係として述語論理の範囲内で定義できるとして、等号の公理が示されています。

 公理1 x=x(反射性)
 公理2 ((x=y)∧Ax)⊃Ay/x」(代入可能性)
    ただし,Ay/xはAxにおける変項xの任意のもの(すべ
    てでなくともよい)をyに置き換えた論理式を意味する。

 そのあと定理として、対称性(x=y)⊃(y=x)と推移性((x=y)∧(y=z))⊃(x=z)の証明。そして、等号のみならず四則演算もある種の関係として定義できるという話になり…

 じゃあ、数はどうなのか?

 数という対象を論理学に還元することはできるのか?

 論理主義の問題はここに集約される、と野矢茂樹さんは書いておられます。

 なんだかこの時点で、フレーゲがプラトニストであったことが腑に落ちるような気がしてきます。

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