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subobject classifierとブール代数と「sieve」

 『圏論による論理学 高階論理とトポス』では、「subobject classifierの意味内容を身近にするために…」として、集合の圏Setの場合について次のような例が出されています。

 下の図において、Aを集合Bの部分集合、Ωを{T,F}なる集合(ただしT,Fは各々真偽を表わす真理値)としてみる。するとT:1→Ωは、単一集合である1の唯一の要素を{T,F}の要素Tに対応させる写像となっている。また、χf:B→Ωは、Ωを中心とした定義の四角形がp.b.であることから、x∈Aのときχf(x)=T、x∈Aではないときχf(x)=Fとする特性写像となってくる。



 そして、○を集合、を集合の要素、○と○をつないでいる線を集合間の写像、----→を要素間の対応として、次のようなイメージ図が示されています。


 そして、こんな注意書きがついています。
 注意 上の例では,Ωとして古典論理の構造に対応する二元からなるブール代数{T,F}を考えたが,一般にはΩとして,多元ブール代数をはじめ,直観主義論理の構造に対応する擬似ブール代数(i.e.ハイティング代数)なども考えられる.
 そっか。つまり、「sieve」というのはこのΩにあたるものであり、それはブール代数ではなく、直観主義論理の構造に対応するハイティング代数なんだ…という、そういう話なんだろうか? だからマルコポーロさんの論稿のうしろのほうに、付録として「Boolean vs. intuitionistic logic」がついているのだろうか。実際(あるいはたまたま?)、出来事pについてのsieveには、Ω(p)という記号があてられています。

 郡司さんにしろマルコポーロさんにしろ、まずはブール代数{1,0}を使った“モデル”を示し、それに向かう特性関数というものを示したうえで、いま考えたい因果集合の場合は、Ωのところにブール代数をおくのではなく、「sieve」をおくんだよ、それが(マルコポーロ理論の)“時間のモデル”だよ、という、そういう話をしていたのだろうか?
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