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数学と数学教育
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圏論:subobject classifier

 郡司ぺギオ-幸夫『時間の正体 デジャブ・因果論・量子論』を読んでいます。というか、読もうとしています。

 第1章、第2章まではあれこれ連想を広げながら楽しく読んでいましたが、第3章は予想していたよりかなり骨があり、読み込むのが大変で、まだなんにもつかめていません。このまま先に進んであとから読み直すか(そうすることでわかることもあるはず)、ここでもっとふんばるか迷ったのですが、どうにもこのまま進むのは気持ちわるいので、もう少しふんばってみることにしました。

 思うに、マルコポーロさんの理論は、やはり圏論を道具として使っているので、結局のところ、マルコポーロさんの理論を理解したいのなら、圏論の勉強するのがいちばんの近道なのではなかろうかと思えてきました。なんだかすごく時間がかかりそうな近道ではありますが。

 たとえば「sieve」に関する図は『圏論による論理学 高階論理とトポス』(清水義夫)に出てくるsubobject classifier(サブオブジェクト・クラシファイヤー)の図にそっくりです。そっくりというか、たぶんずっとこの話をしていたんだと思う。
 subobject classifierの図はどういうものかというと、こんな感じのものです。↓



 説明をつけくわえます。


(プルバックについてはまだこのブログでは何も書いていないので、後日、確認します。)
(2017年4月30日:Ωだけを囲むのが適切なのかは自分でもまだよくわかっていません)

 なお、1からΩに向かう射の記号はティーではなくて、垂直マークがひっくりかえったような記号になっています。でもこれ、ティーからきているのかもな。巻末記号表で「真なる矢」と書いてあるので。ちなみに「偽なる矢」が⊥です。

 「特性射」はテキストでは特性矢と書いてあるのですが、矢を射にかえてもいいのだろうと思ってとりあえず特性射と書きました。ちなみにこのあとはcharacterと表記されています。郡司さんやマルコポーロさんが特性関数といってたcharacteristic functionって、たぶん、これのことだったのね…。

 subobject classifier の定義は次のとおり。

〔定義〕(subobject classifier)

 Cには終対象1が存在するとした上で、次の条件[♯]をみたす射T:1→Ωを伴った対象Ωは、Cのsubobject classifier(サブオブジェクト・クラシファイヤー)とよばれる。

 条件[♯]:任意のmonof:A>→Bについて、上の図がp.b.となるような射χf:B→Ωが一意的に存在する。
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