比例の問題の答えを出すための3つの方法とその意味
遠山啓著作集『量とはなにか−�機�p54では、「amでb円の布地は、cmでは何円になるか」という問題の解x＝bc/aを算数で出す方法は三種類あるとして、三数法・倍比例・帰一法があげられています。
（b×c）÷a ･･････三数法
b×（c÷a） ･･････倍比例
（b÷a）×c ･･････帰一法
三数法はきのうのエントリで示した中世ヨーロッパの商人の比例式の計算方法で、いわゆる「内項の積は外項の積に等しい」という法則を使った計算です。遠山啓は、この方法には、やさしい乗法をさきにやってむずかしい除法をあとでやるという計算上の利点はあるが、その反面、意味の理解がむずかしいとしています。まず、a：c＝b：xという比例式をたてることがむずかしい。a：cはa/cとはちがって、一つの量ではなく二つの量の関係であり、ここに出てくる“＝”は二つの量が等しいということではなく関係の相似ということになるので、このような判断が小学生にはむずしい。また、内項の積と外項の積が等しいということの理由もむずかしく、bc＝axからx＝bc/aをだすのは方程式の解法である、としています。だから中世の商人たちは理由を知らずに機械的に答えをだしていたのだろうし、したがってこの三数法は教育的には適切ではない、と遠山啓は結論づけます。
では、倍比例はどうか。
（b×c）÷a ･･････三数法
b×（c÷a） ･･････倍比例
（b÷a）×c ･･････帰一法
三数法はきのうのエントリで示した中世ヨーロッパの商人の比例式の計算方法で、いわゆる「内項の積は外項の積に等しい」という法則を使った計算です。遠山啓は、この方法には、やさしい乗法をさきにやってむずかしい除法をあとでやるという計算上の利点はあるが、その反面、意味の理解がむずかしいとしています。まず、a：c＝b：xという比例式をたてることがむずかしい。a：cはa/cとはちがって、一つの量ではなく二つの量の関係であり、ここに出てくる“＝”は二つの量が等しいということではなく関係の相似ということになるので、このような判断が小学生にはむずしい。また、内項の積と外項の積が等しいということの理由もむずかしく、bc＝axからx＝bc/aをだすのは方程式の解法である、としています。だから中世の商人たちは理由を知らずに機械的に答えをだしていたのだろうし、したがってこの三数法は教育的には適切ではない、と遠山啓は結論づけます。
では、倍比例はどうか。
倍比例は倍概念の拡張によるもので、cはaのc/a倍ということを理由にしています。遠山啓は、整数倍というものはわかりやすいけれど、これを分数倍に拡張することは容易ではないとして、1958年にできた指導要領の割合分数に近い考えである、と書いています。
第三の方法が帰一法で、これはamの値段から1mの値段をだし、それからcmの値段をだす方法です（「1mに帰る」から帰一法とよぶ）。この帰一法は、比例を特別扱いすることなく、数学の体系のなかに正しく組み入れて一本化するために考えだされたものだそうです。だれが考えたのかは示されていませんが、帰一法については東ドイツの教科書にある例題をとりあげています（『量とはなにか−�機�p128）。「3mで24DM（ドイツ・マルク）する布地がある。5mではどれほどになるか？」という問題を、1mの値段を求めてから5mの値段を求める方法で解いています。
遠山啓は、値段÷分量＝単価によって1mの単価をだし、単価×分量＝値段によって値段を計算する帰一法は、考え方としてもしぜんだ、と書いています（p55〜56）。
一方、日本の過去の教科書はどうなっているかというと、1910年の第2期、1918年の第3期『尋常小学算術書』の6年では倍比例、1925年の第3期の改訂版では三数法、1940年ではまた倍比例になっていて、三数法と倍比例をいったりきたりしていたようです。
ちなみに、帰一法は混乱をもたらすので数学教育的に好ましくなく、それは「数は量の抽象」主義の満足のためのものだ、と主張しているのが北海道教大学の宮下英明先生です。そのことの数学的説明が「１と見る」の数学なのでしょうが、私はいつかここが読めるようになるんでしょうか？ そういえばここにも、(Q, ＋), (N, ＋, ×)といった、集合と演算の組の書き方（＊）が出てきていましたね。
整数倍から分数倍に拡張するのに，これまでは“形式不変”ということをもちだしてきていたが，これは子どもにはとてもわからないのである。整数のあいだに成立する演算の法則が形式的に，そのまま分数にももちこされるように，演算のしかたを定義するという考え方であるが，この考え方がわかるのは代数をいちおう修了してからであろう。（『量とはなにか−�機�p55）
第三の方法が帰一法で、これはamの値段から1mの値段をだし、それからcmの値段をだす方法です（「1mに帰る」から帰一法とよぶ）。この帰一法は、比例を特別扱いすることなく、数学の体系のなかに正しく組み入れて一本化するために考えだされたものだそうです。だれが考えたのかは示されていませんが、帰一法については東ドイツの教科書にある例題をとりあげています（『量とはなにか−�機�p128）。「3mで24DM（ドイツ・マルク）する布地がある。5mではどれほどになるか？」という問題を、1mの値段を求めてから5mの値段を求める方法で解いています。
遠山啓は、値段÷分量＝単価によって1mの単価をだし、単価×分量＝値段によって値段を計算する帰一法は、考え方としてもしぜんだ、と書いています（p55〜56）。
一方、日本の過去の教科書はどうなっているかというと、1910年の第2期、1918年の第3期『尋常小学算術書』の6年では倍比例、1925年の第3期の改訂版では三数法、1940年ではまた倍比例になっていて、三数法と倍比例をいったりきたりしていたようです。
ちなみに、帰一法は混乱をもたらすので数学教育的に好ましくなく、それは「数は量の抽象」主義の満足のためのものだ、と主張しているのが北海道教大学の宮下英明先生です。そのことの数学的説明が「１と見る」の数学なのでしょうが、私はいつかここが読めるようになるんでしょうか？ そういえばここにも、(Q, ＋), (N, ＋, ×)といった、集合と演算の組の書き方（＊）が出てきていましたね。