ピアジェ『構造主義』の中に出てくる「カテゴリー」
集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・3で示した銀林浩『集合の数学』からの引用部分は、このあと、
「自然数についてばかりでなく、量についても同じことがいえる。つまり、種々の連続量から長さという典型を選び出す手続き、連続量を実数で表現する手続きは、まったく同じように、圏の間を、関手で関係づけていることに他ならない」（要約）
と続き、ピアジェ『構造主義』から次の一節が引用されています。
「自然数についてばかりでなく、量についても同じことがいえる。つまり、種々の連続量から長さという典型を選び出す手続き、連続量を実数で表現する手続きは、まったく同じように、圏の間を、関手で関係づけていることに他ならない」（要約）
と続き、ピアジェ『構造主義』から次の一節が引用されています。
A 関手がこんな身近な手続きを表現しているとは，本当におどろきました．私には上記引用部分の内容も、この一節がここで引用されている意味もよくわからなかったでの、ピアジェの『構造主義』の中で、カテゴリーがどのように出てくるかを読んでみることにしました。
B だから，スイスの心理学者ピアジェが近著『構造主義』の中で，「だから，S．パペールが，カテゴリーの中に，数学の操作よりも数学者の操作を把握する努力をみているのも理由がないわけではない．これこそ，その反省的抽象の新しい実例だ．この抽象は，その内容を対象からひき出すのではなくて，その対象にはたらきかける活動から，ひき出す．」（邦訳クセジュ文庫p，35）
と述べているのも，うなづけるというものでしょう．
上記引用部分は、ピアジェ『構造主義』「�供／�学と論理学における構造」の中の「母構造」のところで出てきます。ここでいうところの母構造とは、ブルバキが3つの大きな構造としてあげた「代数学的構造」「順序の構造」「位相数学的構造」を指しています。
その母構造とカテゴリーとの関係について、ピアジェはこう書いています（p34〜35）。
母構造へと向かうのではなく、母構造をとり出すことのできた関係づけの手続きそのものへと向かうこと……
新しい構造を、先行操作によって達した《存在》からひき出されたものとしてでなく、形成過程としての操作そのものからひき出されたものとして、考察すること……
うーん、まだちょっとわからないなぁ…
でも、以前はまったく読めなかったピアジェの『構造主義』が、少し読めそうな気がしてきました。
その母構造とカテゴリーとの関係について、ピアジェはこう書いています（p34〜35）。
カテゴリーとは、すなわち、要素のクラスであり、そこには、それらの要素のもつ関数がふくまれている。したがって、モルフィズム（射）を伴っている。じっさい、関数は、その現実の意味として、ある集合をもう一つの集合に、またはその集合自体に、《対応すること》である。だから、関数は、同形説またはモルフィズムの構成へとみちびく。つまり、関数を強調することによって、カテゴリーは、もはや母構造へと向かうのではなく、母構造をとり出すことのできた関係づけの手続きそのものへと向かうのだといえる。このことは、新しい構造を、先行操作によって達した《存在》からひき出されたものとしてでなく、形成過程としての操作そのものからひき出されたものとして、考察することに帰着する。
母構造へと向かうのではなく、母構造をとり出すことのできた関係づけの手続きそのものへと向かうこと……
新しい構造を、先行操作によって達した《存在》からひき出されたものとしてでなく、形成過程としての操作そのものからひき出されたものとして、考察すること……
うーん、まだちょっとわからないなぁ…
でも、以前はまったく読めなかったピアジェの『構造主義』が、少し読めそうな気がしてきました。