集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・2
銀林浩『集合の数学』（明治図書／1971）p159〜160から、《かぞえる》という手続きと「関手」の関係について述べた部分を抜き出してみます。なお、本の中にある圏の記号は、筆記体のようなぐりんぐりんした文字になっているのですが（字体の名前がわからない）、ここではＣで表します。また、N＊の＊は実際は上付きの添え字です。脱字はあえてそのまま表記します。
たとえば，有限集合を対象とし，有限集合から有限集合への単射を型射とする圏Ｃを考えよう．これが実際圏になることは，単射の合成がまた単射となることから明らかである．一方，自然数の全体
N＊＝{1，2，3，4，……}
の部分集合で{1，2，……，m}の形のものを切片といって［1，m］と書くが，これらを対象とし，［1，m］から［1，n］への自然な埋込み（したがっ当然 m≦n）φm，nを型射とする圏Ｃ0というものが考えられる．
任意の有限集合Aの要素を《かぞえる》というのは，Aに，それと対等な（1対1に対応する）切片［1，m］を対応させる働きFであるが，その際，2つの有限集合A，Bに切片［1，m］，［1，n］が対応するとして，Bの方がAより「多い」，つまり，AからBへの単射fがあれば，［1，m］を［1，n］の中に自然に埋め込む．いいかえると，Ｃの型射fにＣ0の型射φm，nを対応させるわけで，f：A→Bのとき，
F（A）＝［1，m］， F（f）＝φm，n
とおけば，Fは圏Ｃから圏Ｃ0への関手となる．
《かぞえる》という手続きが意味をもっているのは，それが大小，あるいは包含関係をN＊の切片間の関係に移せるためである．つまり，Fの関手としての性格が実は本質的なのである．