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やせた圏と前順序集合、とてもやせた圏と順序集合

 檜山さんの「はじめての圏論 その第3歩:極端な圏達」に「プレ順序集合」という言葉が出てきます。一般的には前順序集合と言われるものだそうですが、口頭だと全順序集合と区別がつかないとのことで、「プレ順序集合」とされているようです。

 ……前順序? なんだそれは!?

 検索してみたところ、「前順序」とは「擬順序」とも呼ばれるらしく、推移的であると同時に反射的な性質を満たしている関係のようです。檜山さんも、
「a≦a」と「a≦b, b≦c ならば a≦c」を満たす関係「≦」を備えた集合はプレ順序集合
と書いておられ、「a≦a」が「反射的」、「a≦b, b≦c ならば a≦c」が「推移的」を表していると考えると、意味も通ります。

 ということは、「前順序」に「対称的」という性質が加われば「同値関係」になり、「反対称的」が加われば「順序関係」になるのでしょうか。

 ちなみにウィキペディアの推移関係によると、

  「半順序」は反対称的な擬順序で、
  「擬順序」は推移的であると同時に反射的だそうだから、
  「半順序」は反対称的・推移的・反射的
  ということで辻褄があいます。
 
  「全擬順序」というのもあって、
  これは完全的な擬順序なのだそうです。
  が、「完全的」のリンク先がなく…

  また、「同値関係」は対称的な擬順序とのこと。
  こちらも対称的・推移的・反射的がそろって辻褄があります。

  そして「全順序」は推移的で反対称的な完全関係だそう。
  ここには擬順序が入っていないので、
  反射的がのぞかれているようです。
  そして完全関係とはなんぞや?
  すべての…という言葉で始まりそうな性質でしょうか。

 それはそうとして、「やせた圏」ってなんだ?
 以前、恒等射しか射がない「離散圏」というものを学びました。これ以上、射は減らせない(圏でなくなってしまう)ので、もっとも射が少ない圏でした。今度は、離散圏よりは射があるんだけれど、でもやっぱり射が少ない「やせた圏(thin category)」について考えてみます。どういう圏かというと、
どんな対象a, bに対しても、ホムセットT(a, b)はたかだか1個しか射を持たない。
圏のことであり、「射がたかだか1個」というのは、
T(a, b)は空(射がまったくない)であるか、T(a, b) = {f} となる。
ということのようです。

 つまり、ある対象からある対象への射がないか、あったとしても1本しかないので、やせ細っているということでthinなのだと思います。私は最初、「対象間を結ぶ射がせいぜい1本」というイメージをもってしまったのですが、檜山さんが示されている例の図を見て、ホムセットT(a,b)={f}の意味がわかりました。aを始域、bを終域とする射がせいぜい1本ということで、a→bとb→aが1本ずつあるのはOKなんですよね。だから、ポコンポコンと浮いていた離散圏の対象のうちのいくつかに、1本か、方向が逆の2本(1組)の矢印があるような、そんなイメージだろうと認識しました(>補足)。もちろん、合成の条件も満たさなくちゃいけないから、下の図でいえば、a→bとb→cがあるのにa→cがないということはないのでしょう。

   

 それで、a→bがある場合に限って、これをa≦bと書くとすると、すべての対象には恒等射があるのだから、上図のa、b、c、d、eでいえば、a≦a、b≦b、c≦c、d≦d、e≦eが成り立ち、これが「反射的」ということになりそうです。また、合成が成り立つことから、上の図でいえば、a≦b、b≦cならばa≦cを満たすということで、「推移的」であるという性質も満たします。ちなみに、dとeの場合は、d→eとe→dの合成がdの恒等射になり、e→dとd→eの合成はeの恒等射になるのだと思います。

 そんなこんなで、「やせた圏」の対象集合は「前順序集合」となり「前順序集合」が与えられれば、そこから自動的に「やせた圏」を作れる、ということらしいです。なるほど。

 さらに、「やせた圏」が以下の条件を満たせば、「とてもやせた圏(very thin category)」になるのだそうです。

a≠b、T(a, b)≠0 ならば、T(b, a) = 0
ということは、「とてもやせた圏」の場合は、a→bがあるならばb→aはないということかな。対象間を結ぶ→があっても、今度こそ本当に1本で、射の一方通行しか許されないのですね。おお。なんか、それっぽくなってきたぞ。

 つまり、a≦b, b≦a ならば、a=b

 これは「反対称的」ということですね。前順序集合に反対称的が加わると…

 結論だけ言えば、とてもやせた圏は順序集合とみなせるのです。

 なるほど〜〜
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