TETRA'S MATH

数学と数学教育
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恒等射(同一矢)とはなんであるかをもう一度考える

 なんとなく圏の雰囲気がつかめてきました。そこで、「圏の定義についての現段階での疑問」についてもう一度考えたいと思います。

 まず、恒等射(同一矢)についてですが、清水義夫著『圏論による論理学―高階論理とトポス』における同一矢の定義が、いまなら素直に読めます。正しい理解かどうかはわかりませんが。

 の任意の対象 B には,f=idBf かつ ggidBをみたす矢idBが存在する.すなわち下図をみたす矢idBが存在する.
      
なお矢idBは,1Bとも表され,「同一矢」(identity)と呼ばれる.
 つまり、f、gのなんたるかを示していなくても、idBは対象Bに伴う矢(射)なのだから、idBの始域または終域はBなのであり、それにからむ矢(射)f、gの始域または終域はおのずとBになるのだな…と解釈していいような気がしてきました。

 以上の解釈で、本に載っていた図を段階的に考えてみます。
 まず、idBという射を考えます。この射は対象Bに伴っているので、始域または終域がBです。

   

 この射idBは、他の射と合成されても他の射の形を変えません。つまり、f=idB○f かつ g=gidBをみたします。

   

 そうすると、射idBの始域または終域はBなのだから、次の4通りの場合が考えられます。

   

 それぞれの図において、fの終域、gの始域がBになることがわかるので、次のようにBを書きくわえることができます。

   

 というわけで、fの始域をA、gの終域をCとすると、上の4つの図は次の図にまとめることができます。

      


 こんな理解でいいのでしょうか?

 思うに、「対象に存在する射」というよりも、射の中には「他の射と合成しても影響を与えない射」というものが存在していて、結果的にその射の始域と終域は一致するので、その一致する対象に付随するものとしてみなす、と考えたほうが個人的にはしっくりきます。でも、射にはそういうものがあるということより、どんな対象に対してもそういう特別な射が存在するという概念のほうが大切なんでしょうね、きっと。いずれにしろ、対象という主人公に伴う射を語るうちに主人公がいつのまにか入れ替わる(↓檜山さんのページより)
id(dom(f));f = f、f;id(cod(f)) = f --(単位律)
のも、なんだか納得できる気がしてきました。

 また、「対象」がなんであるか、については、檜山さんが別のページで「対象達」という言葉を使われていたので、やはり「ひらがなの圏」であればひらがな文字1字1字、「行列の圏」であれば1つ1つの行列、「アミダの圏」であれば、1つ1つのアミダくじが「対象」なのだという理解に落ち着きました。

(つづく)
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