TETRA'S MATH

数学と数学教育
<< 圏の定義に出てくる「恒等射(同一矢)」 | main | 「行列の圏」で圏に慣れる >>

圏の定義についての現段階での疑問点

 清水義夫著『圏論による論理学―高階論理とトポス』の圏の定義と、檜山正幸さんが代表的なものとして示されている圏の定義を見比べながら、「しりとりの圏」を頼りに、圏の定義をひととおり見てきました。この中で私が大きく戸惑ったところが2箇所あります。

 1つは、きのう書いた「恒等射(同一矢)」の定義について。

 もう1つは、「対象」とはなんであるか、ということについてです。

 まず、「恒等射」についてみていきます。

 清水義夫著『圏論による論理学―高階論理とトポス』では、同一矢(恒等射)について、次のような定義が書かれてあります。(合成の小さな白丸を「・」で表します)

 の任意の対象 B には,f=idBf かつ gg・idBをみたす矢idBが存在する.すなわち下図をみたす矢idBが存在する.
      
なお矢idBは,1Bとも表され,「同一矢」(identity)と呼ばれる.

 まず、「対象Bにはこれこれこういう矢idBが存在する」という文章の意味がよくわかりませんでした。矢は始域と終域という対象を伴っているのだから、矢に対象が存在するのはわかります ―― 1つの矢には2つの対象しか存在しないとは言っていないので、その存在する矢が始域と終域のどちらかということは言えないのかもしれませんが ――。しかし、対象に矢が存在するというのは、どういうことなのでしょうか。その対象を始域または終域とする特別な矢がある、と考えればいいのでしょうか。

 そこで、その特別な矢に対してあたえられた条件をみてみるのですが「f=idBf かつ gg・idB」の中のどこにも対象Bそのものが見当たりません。ただ、これまでの定義の中で出てくる矢fgは、― f → BB ― g → C という例で使われているので、fBを終域とする矢であり、gBを始域とする矢だと考えればいいのかもしれません。

 一方、図を参考にしようと思ってまじまじと眺めてみると、対象Bを始域とし、対象Bを終域とする矢が同一矢であるように見えます。自分から自分に向かう矢という意味ではわかりやすいのですが、それならばいっそ最初から、対象Bを始域かつ終域とする矢のことを同一矢といえばいいのではなかろうか、という疑問もわいてきます。しかしそれだと、「しりとりの圏」において、「き」を始域かつ終域とする矢としては「きつつき」「きせき」「ききききき」なども該当し、1つに決まらないし、合成することで別の射を作ってしまいます。ACfgを書く意味がない。

 ところで、同じ対象Bというものは複数存在するのでしょうか? それとも、たとえ1つしかなくても、自分にもどるループのような矢をイメージすればいいのでしょうか?

 次に、檜山さんが示されている定義をみてみます。檜山さんの定義では、最初に

id : Obj → Morph という“写像”がある。a∈Objに対して、id(a)をaの恒等射と呼ぶ。(id(a)はidaと書かれることが多い。)

と恒等射を定義して、そのあとで
id(dom(f));f = f、f;id(cod(f)) = f --(単位律)

という法則で恒等射の性質を示していますが、定義の段階では恒等射が対象から射への“写像”であることと、表記法を示しただけで、内容については触れていません。そして、単位律の中の射の「対象」は、ある射の域と余域になっており、こちらではいつのまにか主人公が入れ替わっています。

 「しりとりの圏」で恒等射を表す「unit」についても、
「"あ";"あか" = "あか"」の例から分かるように、1文字だけからなる文字列(長さ1の列)は単位のような働きを持ちます。そこで、unitあ = "あ" のような書き方をすることにします。
もうひとつ関数。

unit : H → HStr (1文字からなる文字列)
足し算の0、掛け算の1の役割を演じるのはunitxです。ここで、xは任意のひらがな文字でいいので、単位はたくさん(この例では82個)あります。

と書いてありますが、いまひとつ「unit」のなんたるかがつかめません。「単位」という言葉のイメージはなんとなくわかるものの、そのイメージをもって圏にのぞんでいいのだろうか?

 そもそも、この恒等射(同一矢)というものは、なんのために定義されているのでしょうか。それがわかれば定義もわかるような気がします。

 さて、もう1つの疑問点は、「対象」がなんであるか、についてです。

 なるほど「しりとりの圏」は、「射」をモノと捉えるところの抵抗感をなくせば、とてもわかりやすく、特に「始域」「終域」「合成」がわかりやすくなると思いました。しかし、任意の「対象」をひらがな文字1文字と言っていいのかどうかについて、最初かなり不安がありました。「対象」というのは、ひらがな文字の“集合”をさしているのか、ひらがな文字1字1字をさしているのかがよくわからなかったからです。というか、いまでもよくわかっていません。

 それで、当初の予定を変えて、次の「行列の圏」もみてみることにしました。

(つづく)

  ※その後、次のような考えにいきつきました。
  恒等射(同一矢)とはなんであるかをもう一度考える
 

圏論 | permalink
  

サイト内検索